Vad gör jag egentligen?

Börja med att läsa igenom kapitlet om diffekvationer här.

Smaragdalena har en länk till en bra förklaring om hur man gör, men om du undrar varför: läs vidare! (Klickfiske! ;) ) Obs! Detta är basal universitetsmatematik, och det är därmed inte superviktigt att du förstår precis allt, men försök hänga med i de grova dragen i alla fall. 

Som vanligt när vi talar om differentialekvationer utgår vi ifrån funktioner, dess derivator och dess integraler. En regel som kommer att bli användbar här är produktregeln. Den möjliggör att vi skriver ihop ett uttryck med en derivata och ett uttryck utan derivata till ett enda, deriverat uttryck som vi sedan kan integrera och lösa. Vi tar oss en titt på den:

Om en funktion f(x) definieras som $f\left(x\right)=g\left(x\right)·h\left(x\right)$ är dess derivata lika med $f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)+g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)$. Om vi skulle försöka säga vad i vår differentialekvation som är vad i uttrycket för derivatan av f(x), skulle vi kunna säga att g(x) är den funktion vi har, eftersom den vänstra termen i VL är en derivata, och den högra termen i VL är ursprungsfunktionen. Egentligen spelar det ingen roll om vi säger att vi har g(x) eller h(x), det blir samma sak ändå, men om man väljer att man har antingen g(x) eller h(x) nu blir det lättare sedan.

Så, för att kunna skriva vår differentialekvation som en utvecklad kedjederivata måste vi hitta någon bra funktion h(x). Det kan vi göra genom att observera följande saker:

• Det står ingen funktion framför y'
• Att derivera funktioner som utgår från talet e är väldigt lätt.

Om vi börjar med att hitta derivatan av h(x), innebär det att vi måste titta på den funktion, m, som står framför y:

$y\text{'}+0,5y=0$

$y\text{'}+m\left(x\right)·y=0$

Eftersom funktionen framför y (i den förenklade versionen, se ditt steg ett) är en konstant, 0,5, kan vi skriva att: $m\left(x\right)=0,5$. 

Vi vill nu hitta en primitiv funktion till m(x), som vi skriver som $M\left(x\right)$. Den fås genom att integrera m(x), vilket ger oss att:$M\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{x}{2}$. 

Eftersom vi konstaterat att funktioner med e är lätta att derivera, är det ett utmärkt val av funktion. Eller ja, det är valet av funktion. :) Detta kallas för integrerande faktor, och det är vad som kommer att bilda h(x). 

Vår integrerande faktor är alltså $IF=e^{M\left(x\right)}=e^{\frac{x}{2}}$. Derivatan av den funktionen är (enligt kedjeregeln) lika med $0,5·e^{\frac{x}{2}}$. Vi har alltså fått tillbaka vår ursprungsfunktion, sånär som på vår integrerande faktor. Vi multiplicerar hela ekvationen med den integrerande faktorn (IF):

$e^{\frac{x}{2}}·y\text{'}+0,5·e^{\frac{x}{2}}·y=0·e^{\frac{x}{2}}=0$ 

Ett annat sätt att se denna ekvation på är:

$IF·y\text{'}+IF·m\left(x\right)·y=0$

Derivatan av vår integrerande faktor är $IF·m\left(x\right)$, och alltså har vi hittat en funktion som fungerar som det h(x) vi saknade i början! Vi kan då skriva ihop vänsterledet enligt produktregeln, baklänges:

$f\text{'}\left(x\right)=D\left(IF·y=e^{\frac{x}{2}}·y\right)=0$ (D innebär derivatan av ... )

Om vi då integrerar båda led får vi att:

$e^{\frac{x}{2}}·y=\int 0=0+C=C$

För att lösa ut y, dividera båda led med e-uttrycket. Pga. potenslagarna får vi då att: $y=C{e}^{-\frac{x}{2}}$.

Det är historian bakom varför differentialekvationen $y\text{'}+ay=0$, (y(0) = 0), har den allmänna lösningen $y=C{e}^{-ax}$. (Om man vill få med en eventuell konstant för förskjutning i y-led, kan man lägga till den i definitionen av ens M(x), men det blir krångligt och jag behöver gå och lägga mig). 

Smutstvätt skrev:

Smaragdalena har en länk till en bra förklaring om hur man gör, men om du undrar varför: läs vidare! (Klickfiske! ;) ) Obs! Detta är basal universitetsmatematik, och det är därmed inte superviktigt att du förstår precis allt, men försök hänga med i de grova dragen i alla fall. 

---

Som vanligt när vi talar om differentialekvationer utgår vi ifrån funktioner, dess derivator och dess integraler. En regel som kommer att bli användbar här är produktregeln. Den möjliggör att vi skriver ihop ett uttryck med en derivata och ett uttryck utan derivata till ett enda, deriverat uttryck som vi sedan kan integrera och lösa. Vi tar oss en titt på den:

Om en funktion f(x) definieras som $f\left(x\right)=g\left(x\right)·h\left(x\right)$ är dess derivata lika med $f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)+g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)$. Om vi skulle försöka säga vad i vår differentialekvation som är vad i uttrycket för derivatan av f(x), skulle vi kunna säga att g(x) är den funktion vi har, eftersom den vänstra termen i VL är en derivata, och den högra termen i VL är ursprungsfunktionen. Egentligen spelar det ingen roll om vi säger att vi har g(x) eller h(x), det blir samma sak ändå, men om man väljer att man har antingen g(x) eller h(x) nu blir det lättare sedan.

Så, för att kunna skriva vår differentialekvation som en utvecklad kedjederivata måste vi hitta någon bra funktion h(x). Det kan vi göra genom att observera följande saker:

• Det står ingen funktion framför y'
• Att derivera funktioner som utgår från talet e är väldigt lätt.

Om vi börjar med att hitta derivatan av h(x), innebär det att vi måste titta på den funktion, m, som står framför y:

$y\text{'}+0,5y=0$

$y\text{'}+m\left(x\right)·y=0$

Eftersom funktionen framför y (i den förenklade versionen, se ditt steg ett) är en konstant, 0,5, kan vi skriva att: $m\left(x\right)=0,5$. 

Vi vill nu hitta en primitiv funktion till m(x), som vi skriver som $M\left(x\right)$. Den fås genom att integrera m(x), vilket ger oss att:$M\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{x}{2}$. 

Eftersom vi konstaterat att funktioner med e är lätta att derivera, är det ett utmärkt val av funktion. Eller ja, det är valet av funktion. :) Detta kallas för integrerande faktor, och det är vad som kommer att bilda h(x). 

Vår integrerande faktor är alltså $IF=e^{M\left(x\right)}=e^{\frac{x}{2}}$. Derivatan av den funktionen är (enligt kedjeregeln) lika med $0,5·e^{\frac{x}{2}}$. Vi har alltså fått tillbaka vår ursprungsfunktion, sånär som på vår integrerande faktor. Vi multiplicerar hela ekvationen med den integrerande faktorn (IF):

$e^{\frac{x}{2}}·y\text{'}+0,5·e^{\frac{x}{2}}·y=0·e^{\frac{x}{2}}=0$ 

Ett annat sätt att se denna ekvation på är:

$IF·y\text{'}+IF·m\left(x\right)·y=0$

Derivatan av vår integrerande faktor är $IF·m\left(x\right)$, och alltså har vi hittat en funktion som fungerar som det h(x) vi saknade i början! Vi kan då skriva ihop vänsterledet enligt produktregeln, baklänges:

$f\text{'}\left(x\right)=D\left(IF·y=e^{\frac{x}{2}}·y\right)=0$ (D innebär derivatan av ... )

Om vi då integrerar båda led får vi att:

$e^{\frac{x}{2}}·y=\int 0=0+C=C$

För att lösa ut y, dividera båda led med e-uttrycket. Pga. potenslagarna får vi då att: $y=C{e}^{-\frac{x}{2}}$.

Det är historian bakom varför differentialekvationen $y\text{'}+ay=0$, (y(0) = 0), har den allmänna lösningen $y=C{e}^{-ax}$. (Om man vill få med en eventuell konstant för förskjutning i y-led, kan man lägga till den i definitionen av ens M(x), men det blir krångligt och jag behöver gå och lägga mig). 

 tack för den förklaringen! Ska läsa den några gånger och försöka förstå:)

Varsågod! Som sagt, det är en bit över nivån för gymnasiematematiken. Där brukar man mest säga "Om du deriverar y och sätter in i funktionen ser du att det stämmer", och man känner mest "Visst, men HUR hittade ni formen på y?". Det är bra att du är nyfiken! Men bli inte för arg på dig själv om du inte fattar precis allt. :)