Vad för matematisk sjukdom lider jag av?

Vilket härligt erkännande från din sida. Jag önskar att jag sett lika klart på det som du gör när jag gick på gymnasiet.

Kanske har du lite den sjuka jag hade? De första sidorna i varje ny del hoppade jag över och gick direkt på exemplen och vid behov backade jag och läste på, men bara exakt vad som behövdes för att lösa uppgiften.

Nu läser jag varje del i början av kapitlen, antecknar och skriver av exemplen som om en lärare hade stått och ritat dom på en tavla. Jag hoppar hellre över några i mina ögon för enkla exempel i början av kapitlet. Det har lett till att jag numer nästan alltid klarar de allra svåraste på slutet av kapitlet, vilket jag hade stora problem med tidigare.

Kanske det kan vara något att prova?

@TS

Vad är din fråga egentligen? Vill du att vi ska diagnosticera din sjukdom?

Om du vill ha hjälp att lösa talen får du skapa en tråd per fråga (enligt regelverket på PA).

Albiki skrev:

@TS

Vad är din fråga egentligen? Vill du att vi ska diagnosticera din sjukdom?

Om du vill ha hjälp att lösa talen får du skapa en tråd per fråga (enligt regelverket på PA).

 Ja precis. Jag tror att jag gör samma fel på alla uppgifterna, vad är det för fel?

Pokerhänder är, IMO, luddigt formulerade då de inte tar hänsyn till verklig 'deal'. Man får inte 5 kort direkt (vilket som ev. avses här) utan man är en av $n$ spelare och det ändrar spelreglerna betydligt

2251 är dock enklare. Om $X$ = "Antal 'satta' skott" är $X$ Binomialfördelat, Bin(8,0.35)

Ditt högerled är helt rätt, men ditt vänsterled är fel då det inte tar hänsyn till fördelningen av de 5 'satta' skotten samt vad som händer på de 'resterande' 'skotten'. Se över Binomialfördelningen så klarnar allt hur vänster sida skall se ut.

ConnyN skrev:

Vilket härligt erkännande från din sida. Jag önskar att jag sett lika klart på det som du gör när jag gick på gymnasiet.

Kanske har du lite den sjuka jag hade? De första sidorna i varje ny del hoppade jag över och gick direkt på exemplen och vid behov backade jag och läste på, men bara exakt vad som behövdes för att lösa uppgiften.

Nu läser jag varje del i början av kapitlen, antecknar och skriver av exemplen som om en lärare hade stått och ritat dom på en tavla. Jag hoppar hellre över några i mina ögon för enkla exempel i början av kapitlet. Det har lett till att jag numer nästan alltid klarar de allra svåraste på slutet av kapitlet, vilket jag hade stora problem med tidigare.

Kanske det kan vara något att prova?

 Jag måste erkänna att jag gör det faktiskt. Vissa uppgifter gör jag i huvudet.

2250: Du har ämnena a, b, c, d, e, f, g, h, i som är ofarliga samt X och Y som exploderar om de kommer ikontakt med varandra. Då kan du kombinera X med 4 av de 9 ofarliga ämnena (hur många tänkbara kombinationer blir det?), Y med 4 av de 9 ofarliga ämnena (hur många tänkbara kombinationer blir det?) eller 5 av de ofarliga ämnena. Hur många kombinationer blir det totalt? (Som kemist har jag ett och annat att säga om frågan, men nu är det ju matte...)

2251: Egentligen borde du göra en ny tråd för varje fråga, men jag kan väl bara säga att sannolikheten för att träffa 7 ggr är $8\cdot0,35^x\cdot0,65$ - det kan vara vilket som helst av de åtta skotten som missar, och sannolikheten att missa är 0,65, inte 1. Sannolikheten för 6 eller 5 träffar är ytterligare lite krångligare. Binominalutvecklingen tar hand om allt det här - men den formeln ser verkligen ganska skrämmande ut! Rita gärna ett träddiagram.

Trinity skrev:

Pokerhänder är, IMO, luddigt formulerade då de inte tar hänsyn till verklig 'deal'. Man får inte 5 kort direkt (vilket som ev. avses här) utan man är en av $n$ spelare och det ändrar spelreglerna betydligt

2251 är dock enklare. Om $X$ = "Antal 'satta' skott" är $X$ Binomialfördelat, Bin(8,0.35)

Ditt högerled är helt rätt, men ditt vänsterled är fel då det inte tar hänsyn till fördelningen av de 5 'satta' skotten samt vad som händer på de 'resterande' 'skotten'. Se över Binomialfördelningen så klarnar allt hur vänster sida skall se ut.

 Åh... Du menar att mitt vänsterled stämmer?

Jag förstår, 0,35^5 betyder P(sätta 5 skott av 5 skjutna skott). P(sätta 5 skott av 8 skjutna skott) är inte samma sak?

PS. En liten tanke, P(sätta 5 skott av 99999 skjutna skott) är väldigt liten eller hur?

Trinity menar att det är ditt högerled som stämmer. Du har inte tagit hänsyn till att man måste skjuta 8 skott totalt - om det ör 5 som träffar, är det samtidigt 3 som missar.

Uppgift 2248. Du drar $5$ stycken kort utan återläggning och utan hänsyn till ordning från en kortlek som innehåller $52$ stycken kort; det finns ${52 \choose 5}=2598960$ stycken sätt på vilka detta kan ske.

Deluppgift a.

1. Det finns $5$ platser där tian kan placeras i handen.
2. Det finns $4$ stycken tior att välja mellan; de övriga platserna kan besättas på $48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45$ sätt.
3. Det finns $5!$ olika sätt som denna uppsättning kort kan bli valda på och de är alla ekvivalenta, så antalet distinkta sätt att få precis en tia är därför

        $\frac{5 \cdot 4 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45}{5!} = 778320$ stycken.

Sannolikheten att få precis en tia är därför litet mindre än 30 procent, närmare bestämt $\frac{778320}{2598960} \approx 0.2995.$

Uppgift 2248, deluppgift b.

1. Det finns 5 platser där den första tian kan placeras i handen.
2. Det finns 4 stycken tior att välja mellan.
3. Det finns 4 stycken platser där den andra tian kan placeras i handen.
4. Det finns 3 stycken tior att välja mellan.
5. Det övriga platserna kan besättas på $48 \cdot 47 \cdot 46$ sätt.
6. Det finns $5!$ olika sätt som denna uppsättning kort kan bli valda på och de är alla ekvivalenta.

Antalet distinkta sätt att få två stycken tior är därför

    $\frac{5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5!} = 207552$ stycken.

Sannolikheten att få två tior är därför litet mindre än $8$ procent, närmare bestämt $\frac{207552}{2598960} \approx 0.0799$.

Jag hoppas att mina inlägg både visar hur uppgifterna skulle kunna lösas och även hjälper dig att diagnosticera var och hur du tänker fel.

Qetsiyah skrev:

Trinity skrev:

Pokerhänder är, IMO, luddigt formulerade då de inte tar hänsyn till verklig 'deal'. Man får inte 5 kort direkt (vilket som ev. avses här) utan man är en av $n$ spelare och det ändrar spelreglerna betydligt

2251 är dock enklare. Om $X$ = "Antal 'satta' skott" är $X$ Binomialfördelat, Bin(8,0.35)

Ditt högerled är helt rätt, men ditt vänsterled är fel då det inte tar hänsyn till fördelningen av de 5 'satta' skotten samt vad som händer på de 'resterande' 'skotten'. Se över Binomialfördelningen så klarnar allt hur vänster sida skall se ut.

 Åh... Du menar att mitt vänsterled stämmer?

Jag förstår, 0,35^5 betyder P(sätta 5 skott av 5 skjutna skott). P(sätta 5 skott av 8 skjutna skott) är inte samma sak?

PS. En liten tanke, P(sätta 5 skott av 99999 skjutna skott) är väldigt liten eller hur?

Nej, Din 5:a är inte 'uttömmande' för vad som sker på spelplanen. Du måste precisera vad som händer med de 3 andra försöken, och inte nog med det - även hur träffar och missar fördelar sig på de 8 försöken. Matematiken är blind och vet inte vad som avses.

Ja, P[5 träff utav 99999 försök] är liten. Det förväntade resultatet (väntevärdet) är 0.35*99999 = c:a 35000 träff. Sannolikheten för 5 träff är nästan obefintligt, i storleksordningen 10^(-18687).

Uppgift 2249.

Deluppgift a. Varje gång man drar en kula finns det 18 stycken att välja bland. Det finns därför $18^7$ stycken sätt att dra 7 kulor med återläggning. Placera de dragna kulorna på en rad.

1. Platsen för den första svarta kulan kan väljas på 7 sätt; det finns 8 svarta kulor att välja bland.
2. Platsen för det andra svarta kulan kan väljas på 6 sätt; det finns 8 svarta kulor att välja bland.
3. Platsen för den tredje svarta kulan kan väljas på 5 sätt; det finns 8 svarta kulor att välja bland.
4. Platsen för den fjärde svarta kulan kan väljas på 4 sätt; det finns 8 svarta kulor att välja bland.
5. Platsen för den första röda kulan kan väljas på 3 sätt; det finns 10 röda kulor att välja bland.
6. Platsen för den andra röda kulan kan väljas på 2 sätt; det finns 10 röda kulor att välja bland.
7. Platsen för den tredje röda kulan kan väljas på 1 sätt; det finns 10 röda kulor att välja bland.

Det finns $7!$ ekvivalenta sätt att omordna de valda kulorna, så antalet distinkta sätt att välja 4 svarta kulor (och 3 röda kulor) är

    $\frac{7 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 10}{7!} = 4096000$.

Sannolikheten att få 4 stycken svarta kulor om man lägger tillbaka dragna kulor är litet mindre än 1 procent, mer specifikt $\frac{4096000}{18^{7}} \approx 0.0067.$

Jag kan väl som uppmuntran säga att det här med kombinatorik och kombinatoriska resonemang är relativt klurigt. Jag har läst både Sannolikhetslära och Diskret matematik på universitetsnivå men det tar ändå mig en del möda och tid i anspråk för att lösa kombinatorikuppgifter som inte är av rutinkaraktär. Ofta finns det också flera ekvivalent att lösa en uppgift på beroende i vilken ända man börjar. 

Här är några allmänna tips vad gäller kombinatoriska uppgifter:

1) Det är väldigt lätt som du är inne på att man tänker för snabbt och hittar något som verkar enkelt och känns rätt vid första anblick, men som har brister. Kanske har man missat vissa fall, eller räknat med vissa fall flera gånger eller dylikt. Ibland är det bra att fundera igenom problemet noga och försöka rita upp det för sig.

2) Gör rimlighetsbedömningar av dina svar. Detta är särskilt effektivt på prov. Försök fundera på om det är stor,medel eller liten sannolikhet för något. ex. "Om det finns 5 olika glassorter som 100 olika barn får välja mellan (där alla barn gillar alla glassar lika mycket. Vad är sannolikheten att minst två barn väljer jordgubbsglass? Om du råkar få fram svaret till säg 30 % så kan man redan då se att detta i alla fall är fel eftersom vi kan se att det är många barn och det finns bara några glassar att välja mellan, då borde det vara ganska hög sannolikhet att i alla fall 2 väljer jordgubbsglassen och 30 % är tydligt fel. Då vet man i alla fall att man gjort fel och kan tänka om och göra på ett annat sätt innan man tittar i facit eller lämnar in provet.

3) "Divide and concor "/"Söndra och härska" som Ceasar sa. Bryt ner problemen i mindre beståndsdelar. Om de frågar om hur stor sannolikheten är att som mest 2 stycken barn väljer Piggelin. Då kan detta brytas ner till tre fall som svarar på frågan tillsammans "Inget barn väljer Piggelin"+"Exakt ett barn väljer piggelin"+"Exakt två barn väljer Piggelin". Varje av dessa fall blir då enklare var för sig för man har fått bort aspekten "som mest".

4) Skriv om problemet eller tänk om för att göra det enklare. Ibland är det enklare att räkna med komplementhändelsen exempelvis. Vad är sannolikheten att få minst en femma eller sexa om du slår 20 gånger. Man skulle kunna räkna "exakt en"+"exakt två stycken"+"exakt tre"... o.s.v. men det blir (mycket) enklare att beräkna 1-P(ingen femma eller sexa) och skriva det som 1-((4/6)^20)

5) Ta hjälp av venndiagram för att få en bra bild av problemet. Det minimerar också risken att räkna vissa fall dubbelt eller missa vissa fall. Andra klassiska enkla modeller som ex. Albiki använt sig ofta av är $\frac{sökta utfall}{samtliga utfall}$

Binomialkoefficienter och binomialfördelning är också väldigt bra modeller att använda

6) Låt det ta tid och ta inte hjälp av facit direkt. Det är lätt att låta sig luras när man sneglar i facit att man tror att man förstår precis vad de gör och att man fattar men det är inte säkert att man löser en liknande uppgift på egen hand när man stöter på den. Med kombinatoriska problem gäller ofta mer än annat att "övning ger färdighet".

Det finns såklart färdiga modeller/formler att använda men ofta ligger problemet i att tolka uppgiftsformuleringen och vilken/vilka formler/modeller man ska använda sig av.

Ibland ligger det dock också i att kombinatorikuppgifterna kan vara otydligt formulerade eller ha luckor som gör att det faktiskt inte är glasklart exakt hur man ska tolka dem och hur man ska beräkna det som ex. Trinity angav med pokeruppgiften