Vad exakt är en tyngdpunkt?

Det är den punkt där man kan ersätta den totala kraften på en kropp med en enda resulterande kraft. 

Genomsnittet som du nämner kallas för masscentrum. 

Hur man räknar på masscentrum kommer man in på i baskursen för mekanik på högskolan.

naytte skrev:

[...] och att man på något sätt tar fram något genomsnitt. Men jag är inte riktigt säker.

Det är precis rätt intuition! 

Låt oss börja med den endimensionella fallet!

Tänk dig att du har en rak stång av längden $L$, vars densitet bara varierar i längdriktningen (dvs. är konstant i varje tvärsnitt). Det betyder att vi rent matematiskt kan beskriva stången som intervallet $[0,L]$ på den reella tallinjen. Anta vidare att stångens densitet kan beskrivas med funktionen $\rho\colon [0,L]\to\mathbb{R}$ (som mappar varje punkt $x$ till densiteten $\rho(x)$, angiven i massenheter per längdenhet).

Då är stångens masscentrum $\hat{x}$ lika med det viktade medelvärdet av alla punkters $x$-koordinater längs med stången, där varje punkt viktas med densiteten $\rho(x)$ i den punkten, dvs. 

   $\displaystyle\hat{x}=\frac{1}{m}\int_{0}^{L} x{\rho(x)}\,\mathrm{d}x\,,$

där $m$ är stångens totala massa, som i sin tur är lika med $\int_0^L {\rho(x)}\,\mathrm{d}x$.

Det kan vara värt att stanna upp och meditera lite över den här formeln. Fundera till exempel på vad som händer om stången är helt homogen med konstant densitet $\rho$!

Vad händer om densiteten är större på stångens högra sida, t.ex. om vi har $L=3$ och $\rho(x)=x^2$?

Låt oss nu säga några ord om det tredimensionella fallet!

Tänk dig att vi har en kropp $K\subseteq\mathbb{R}^3$ (en delmängd av $\mathbb{R}^3$), och att kroppens densitet beskrivs av en funktion $\rho\colon K\to\mathbb{R}^3$ (som mappar varje punkt $(x,y,z)\in K$ till densiteten  $\rho(x,y,z)$ i just den punkten).

Då kan vi definiera tyngdpunkten som $(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$, där

• $\hat{x}$ är det viktade medelvärdet av alla punkters $x$-koordinater i $K$, där varje punkt viktas med densiteten i den punkten.
• $\hat{y}$ är det viktade medelvärdet av alla punkters $y$-koordinater i $K$, där varje punkt viktas med densiteten.
• $\hat{z}$ är det viktade medelvärdet av alla punkters $z$-koordinater i $K$, där varje punkt viktas med densiteten.

Precis som i det endimensionella fallet kan vi beskriva detta med integraler, men integralerna kommer bytas ut mot så kallade trippelintegraler:

   $\displaystyle\hat{x}=\frac{1}{m}\iiint_{K}x\cdot{\rho(x,y,z)}\,\mathrm{d}V$

   $\displaystyle\hat{y}=\frac{1}{m}\iiint_{K}y\cdot{\rho(x,y,z)}\,\mathrm{d}V$

   $\displaystyle\hat{z}=\frac{1}{m}\iiint_{K}z\cdot{\rho(x,y,z)}\,\mathrm{d}V$

där $m$ är kroppens totala massa, som i sin tur kan beräknas som $m=\iiint_{K} \rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V$.

Sådana här trippelintegraler $\iiint_{K} f(x,y,z)\,\mathrm{d}V$ med en integrand $f\colon K\to\mathbb{R}$ kommer du lära dig mer om om du läser en kurs i flervariabelanalys på universitetet, men idén bakom dem är densamma för vanliga integraler! Man delar upp kroppen $K$ i så små bitar $K_1,\ldots,K_n$ med volym $V_1,\ldots,V_n$, väljer det minsta värdet på integranden $f$ i varje bit, säg $f_1,\ldots,f_n$, gör approximationen

   $\displaystyle\iiint_{K}{f(x,y,z)}\,\mathrm{d}V\approx\sum_{i=1}^n f_i V_i\,,$

och definierar trippelintegralen som "gränsvärdet" (den så kallade "minsta övre gränsen") för den här summan när vi låter bitarna bli godtyckligt små och många. Exakt hur man konkret beräknar detta lär man sig i flervariabelanalysen. (Spoiler: det kokar ner till att beräkna tre vanliga integraler, därav notationen med tre integraltecken.)

naytte skrev:

Kan man på något sätt bevisa att ett föremål har en tyngdpunkt eller är det mer av en defintionsgrej? 

Alla kroppar som har en "tillräckligt slät" form och en "tillräckligt kontinuerlig" densitetsfunktion för att integralerna här ovan ska existera kommer ha ett väldefinierat masscentrum enligt den här definitionen. Exakt vad "tillräckligt" betyder kommer du lära sig mer om om du läser en flervariabelanalyskurs, men i praktiken kommer alla realistiska och praktiskt användbara modeller av verkliga föremål att uppfylla dessa matematiska krav.

När du har läst flervarren kommer du kunna koka ihop vansinniga exempel där integralerna inte existerar (i bemärkelsen att vi inte konvergerar mot något när vi delar upp kroppen och i allt fler och allt mindre bitar), men sådana kroppar och densitetsfunktioner kommer knappast vara särskilt realtiska eller särskilt användbara modeller av verkliga föremål.

$x \cdot x^3$ korrigerad till $x \cdot x^2$ i spoiler #2 på Oggihs begäran. /Dracaena

Och det praktiska sättet att bestämma tyngdpunkten: om ett föremål hänger, befinner sig tyngdpunkten på linjen lodrätt ner från fästet. Om man tar fästet någon annanstans på föremålet, ligger tyngdpunkten alltså där dessa två linjer skär varandra.

(Enklaste demonstration är två-dimensionell med hålplåt.)

Oj, tack så hemskt mycket för det utförliga svaret, @oggih!

Jag har bara snabbt tagit en titt på svaret, men ska förstås gå in i mer detalj senare. Eftersom jag är lite matematiskt illitterat undrar jag vad exakt notationen $\rho :[0, L]\to \mathrm{ℝ}$ betyder. Betyder det att densitetsfunktionen är definierad över intevallet $[0, L]$ och att varje inkluderat x-värde är mappat till ett reellt y-värde (eller i det här fallet till en viss densitet?)

naytte skrev:

Eftersom jag är lite matematiskt illitterat undrar jag vad exakt notationen $\rho :[0, L]\to \mathrm{ℝ}$ betyder. Betyder det att densitetsfunktionen är definierad över intevallet $[0, L]$ och att varje inkluderat x-värde är mappat till ett reellt y-värde (eller i det här fallet till en viss densitet?)

Det är exakt vad det betyder! ^_^

Det här är helt klart lite överkurs, så bara fråga om det är något mer som är oklart, så försöker vi förklara mer pedagogiskt! (Och känn ingen panik om det känns för svårt. Du kan alltid återkomma till detta senare i dina studier!) 

Hur kan man tala om densitet i det endimensionella fallet? Krävs det inte en volym för att något ska ha en densitet? Eller betraktar vi bara ett tredimensionellt föremål ur en dimension? Och om så är fallet, hur kan vi tala om densiteten i en viss punkt?

naytte skrev:

Hur kan man tala om densitet i det endimensionella fallet? Krävs det inte en volym för att något ska ha en densitet? Eller betraktar vi bara ett tredimensionellt föremål ur en dimension? 

Bra fråga! Jag tänker mig mycket riktigt en slags "endimensionell variant" av densitetsbegreppet, med enheten $\mathrm{g/cm}$ (i stället för $\mathrm{g/cm^3}$), där vi säger att densiteten för ett cylinderformad skiva av stången är massan dividerat med längden.

Och om så är fallet, hur kan vi tala om densiteten i en viss punkt?

Det är samma klassiska fråga som hur man kan definiera momentanhastighet i ett givet ögonblick i fysiken! Tricket här, precis som där, är att använda sig av gränsvärden. Mer precist så kan vi definiera $\rho(x)$ så här:

Börja vid punkten $x$ och bilda sedan en tunn skiva av stången genom att ta ett litet steg $h$ bort från $x$. Skivan (som motsvarar delintervallet $[x,x+h]$ av $[0,L]$) har nu en faktiskt bredd, så det makear sense att tala om dess massa, som vi kan dividera med skivans längd $h$, och vi definierar nu "densiteten i punkten $x$" som gränsvärdet när $h\to 0$, dvs.

   $\displaystyle{\rho(x)}:=\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{Massan\, av\, biten}\,[x,x+h]}{h}\,.$

Illustration av situationen:

Ja, okej, då är jag med! Jag misstänkte att det var ungefär samma princip som med momentanhastighet, men jag ville bara vara säker. 

Figuren nu är ju tvådimensionell, men jag antar att det bara är för att illustrera resonemanget? För själva gränsvärdet motsvarar ju ett endimensionellt föremål.

Jag föreställer mig en tredimensionell stång, som har egenskapen att densiteten bara varierar i längdled (och alltså är konstant i varje tvärsnitt). Stången kan därför  modelleras som ett endimensionellt intervall $[0,L]$, och dess densitet som en funktion $\rho: [0,L]\to\mathbb{R}$ (vars värden har enheten massenhet per längdenhet, t.ex. g/cm).

I bilden så har jag försökt få med både den tredimensionella stången, och den endimensionella matematiska modellen! Den tunna skivan som börjar vid punkten $x$ (och vars tjocklek vi kommer låta gå mot 0) är det gråa fältet, som i den matematiska modellen motsvarar delintervallet $[x,x+h]$.

En praktisk egenskap som tyngdpunkten har är att om ett föremål som står på en basyta har sin tyngdpunkt lodrätt ovanför en punkt i basytan så står den stabilt, medan om tyngdpunkten är lodrätt ovanför en punkt utanför basytan så välter den.

När det gäller just det endimensionella fallet finns det förresten ett väldigt skoj sätt att praktiskt bestämma tyngdpunkten – utan att vare sig kunna integrera eller känna till hur densiteten varierar längs föremålet! Se första fenomenet som demonstreras i den här Veritasium-videon! ^_^

Både detta och de andra fenomenen är väl värda att fundera på (och förundras över) ett tag, men när du tröttnar finns förklaringar som är mer eller mindre intuitivt begripliga på gymnasienivå i den här videon: