Vad derivatan säger om grafen

När lutningen är noll anses funktionen vara både växande och avtagande i den punkten. Däremot gäller det inte att $f'(4)<0$, men det gäller att $f'(4)\leq0$. 

Varför denna definition av växande och avtagande? Jag vet faktiskt inte. Det är väl samma geni som kommit på idéen att inversen av en funktion ska skrivas $f^{-1}$, trots att det borde betyda $\frac{1}{f}$. :)

Det är fråga 08 det gäller förresten

De menar att f'(x)<0 mellan x=4 och x=6 (därför att där har grafen negativ lutning/är avtagande)

Ett korrekt sätt att skriva är:

$f\text{'}\left(x\right)<0 för 4<x<6$

eller

$f\text{'}\left(x\right)\le 0 för 4\le x\le 6$

• Så en tanke skulle kunna vara att när man närmar sig x=4 från höger så finns alltid ett mindre värde än det innan, därför vid x=4 så är f(4) det enda värdet för det x-värdet. Beroende från vilket håll man närmar sig x=4 så kan den extrempunkten agera som växande om man kommer från vänsterifrån eller som avtagande högerifrån. Eftersom vid extrempunkten finns ingen annan punkt som denna själv och fram tills den punkten längs kurvan kan det växa eller avta.

Pelle, boken, och min mattelärare sade detta också, att f'(x) <0 för 4<x<6 är fel. De säger att även där lutningen är noll så ingår detta x-värde inom intervallet för lutningen har ett värde. Boken säger exakt detta på b) frågan.

Nu säger de emot sig själva, fråga b det gäller, att där lutningen är noll vid x=1 och x=3 ingår inte i intervallet. Kan man skriva på båda sätten alltså som pelle sade? Det känns som att boken skriver fel

De frågar var andraderivatan är mindre än 0, inte var andraderivatan är avtagande. Facit är korrekt.

Förlåt för sent svar, men där andraderivatan är mindre än 0 där är andraderivatan avtagande, så det är väldigt osäkert vad de menar. Jag menar hur vet man vilket av intervallen de vill ha? Vad är skillnaden på på fråga 3108 och 3154, för att svaren är olika men frågan ber om samma sak. Vad är skillnaden mellan där andraderivatan är 0 och där andraderivatan är avtagande? Betyder de inte samma sak?

På 3108 b är facit ändå fel. Det ska vara $-3 < x < 1$.

Intressant, så det är fel.. detta koncept känns som ett sådant som kommer hemsöka mig för en lång tid framöver. Laguna, boken säger detta (i bilden jag skickar nu).

Vad ville du säga med den bilden? 

Jag gjorde en gul prick där jag ville peka ut. De säger nämligen att de två x-värdena som egentligen är utanför intervallet, faktiskt är med i intervallet. Även ifall lutningen är noll för x=2 och x=4. 

Jag är inte med på vad du menar. Titta på vad det frågades efter.

Om en funktion är avtagande/växande eller inte beror inte på huruvida derivatan är mindre än/större än 0.

Istället gäller följande: En funktion är avtagande i ett intervall om det för alla punkter $a$ och $b$ i intervallet gäller att om $a<b$ så är $f(a)\geq f(b)$.

Eftersom detta gäller för alla punkter i intervallet $[2,4]$ (dvs i intervallet $2\leq x\leq4$) så är funktionen avtagande i hela det intervallet.

Dvs punkterna där $x=2$ och $x=4$ är inte utanför intervallet, trots att derivatan i dessa punkter är lika med 0.

================

På samma sätt: En funktion är växande i ett intervall om det för alla punkter $a$ och $b$ i intervallet gäller att om $a<b$ så är $f(a)\leq f(b)$.

Ok allt det verkar tillräckligt logisk för att jag ska acceptera det delvis, dock du kanske kan förklara varför denna skillnad på 3108 b och 3154 b? De enda skillnaden i frågorna är att den ena är för derivatan och den andra för andraderivatan. Är det någor speciellt med juat derivatan som gör att de två x-värdena skall ingå i intervallet där f'(x)<0?

Men ändarna ska ju inte ingå i intervallet på 3108b, det har redan nämnts att facit har fel där. Om frågan använder olikhetstecken, då kollar man på det för att avgöra om ändarna ingår eller inte. Om frågan använder ord som "växande" eller "avtagande", då gäller definitionen av dessa begrepp. Och de definitionerna utesluter inte stationära punkter.

• Rätt svar på 3108b: -3 < x < 1. Det står alltså fel i facit här.
• Rätt svar på 3154b: 1 < x < 3

Svaren på de båda likalydande frågorna hänger alltså ihop.

I diskussionen med din lärare, var noga med att skilja på "derivatan mindre/större än 0" och "avtagande/växande funktion". Dessa begrepp är inte synonyma.

Okej tack för hjälpen :), nu förstår jag att det är skillnad på avtagande och där lutningen är mindre än 0. Och att om en funktion är avtagande eller växande inom ett intervall så räknas de x-värdena i ändarna med, men inte där lutningen är mindre eller större än noll.

Det stämmer inte alltid. Det beror helt på hur funktionen ser ut i ändpunkterna.

Ta till exempel funktionen $f(x)=x^2$ i intervallet $1\leq x\leq2$.

Här gäller att funktionen både är växande och har positiv lutning i hela intervallet, dvs även vid ändpunkterna.

Ja men det är ju självklart, jag menade just där för de x-värdena där lutningen samtidigt växlar tecken. Jag visste dock inte att ändpunkter kunde uppfattas som något annat än just det konceptet vi var inne på just då

OK bra att det är självklart för dig. Det vågade jag nämligen inte ta för givet.