Vad betyder ytintegral?

Integranden i en ytintegral är helt enkelt funktionen som ska integreras över ytan. Det är egentligen samma sak som med en vanlig dubbelintegral, fast nu har man en tredimensionell yta istället för en tvådimensionell yta.

Om du har en ytintegral:

$\displaystyle \iint_S$ $f(x,y)\ dS$

kan den beräknas med formeln:

$\displaystyle \iint_S$ $f(x,y)\ dS=$ $\displaystyle \iint$ $f(\mathbf{r}(x,y))\cdot||\mathbf{n}||\ dxdy$

där $\mathbf{r}(x,y)$ är en parametrisering av ytan $S$ och $\mathbf{n}$ är normalen $(-\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x},-\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y},1)$ till $S$.

Varför en etta i normalen? Och varför minustecken framför derivatorna? Den (de?) borde väl vara parallell mot xy-planet här? Och hur parametriserar jag en cylinder med bara 2 bokstäver, man brukar väl använda r, v och z? 

Nja, normalen har ingenting med xy-planet att göra, det är ju en vektor som pekar från ytan, den är alltså vinkelrät mot tangentplanet.

Däremot inser jag nu att det där jag skrev om normalen är fel; det gäller bara om ytan är skriven på $z=f(x,y)$-form (explicit form) vilket den inte är här. Normalen är egentligen kryssprodukten av derivatorna, d.v.s.

$\mathbf{n}=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}$

Om ytan skrivs på $z=f(x,y)$-form är denna kryssprodukt lika med det jag skrev i mitt tidigare inlägg, men eftersom vi inte har ytan på explicit form kan vi inte använda oss av detta.

Ytan till en cylinder går definitivt att parametrisera med två variabler (parametriserar du med tre får du en volym), låt den ena variabeln vara vinkeln till en cirkel och låt den andra vara höjden:

$\mathbf{r}(x,y)=(\cos(x),\sin(x),y)$

Får normalen till (cosx,sinx,0). Om den stämmer är den väl parallell med xy-planet? Men hur stoppar jag in r(x,y) i x^2 nu?

Ja, den är parallell med xy-planet för just denna yta (jag trodde du menade att normalen till alla ytor var parallell med xy-planet, men nu är jag med).

Vi kan skriva integranden som

$f(x,y)=x^2$

Funktionen $f$ tar alltså helt enkelt bara $x$-komponenten och kvadrerar den.

Sätter man in $\mathbf{r}(x,y)$ i $f(x,y)$ får man då helt enkelt:

$f(\mathbf{r}(x,y))=f(\cos(x),\sin(x))=\cos^2(x)$

Då fick jag rätt svar! :) Men varför behövde jag inte gångra in ngt på x^2 här när jag skrev om till dx till d-vinkel? Det brukar ju dyka upp ett r där ibland annars.. 🤔

Jag hänger inte riktigt med - när byter du till $d\theta$ (polära koordinater??)?

Visa dina uträkningar så är det lättare att förklara.

Om du kan/vill, kan du lämna ut svaret också? Tack =)

Jag vet inte riktigt hur jag ska skriva, verkligen inget bra på det här än.. Men bytte vi inte koordinater nu? Utan r då. Eftersom jag använde gränserna 2pi och 0 på x. Det är ju inte de gränserna som den går mellan i vanliga x och y. Då borde x vara mellan typ 1 och -1?

Svaret ska vara pi

Nja, det ska egentligen inte vara tomt, ytelementet i cylindriska koordinater när man håller $\rho$ konstant är

Men nu råkar $\rho=1$, alltså är $x^2=\rho^2\cos^2(\varphi)=\cos^2(\varphi)$ och dessutom blir ytelementet bara $d\varphi dz$

Jag märker nu att vi har krånglat till beteckningarna rätt så rejält. I mina poster har jag skrivit parametervariablerna som $x$ och $y$ vilket troligen rört till det hela ganska mycket. De $x$ och $y$ som jag räknat med är inte samma som de som står i uppgiften. Jag borde ha kallat parametriseringen för $\mathbf{r}(s,t)$ för att tydliggöra detta.

I alla fall, när vi ska beräkna vår integral ska vi integrera över den mängd av de parametriserade variablerna som ger ytan. I vårt fall är det $0\leq x\leq2\pi$ ($x$ är ju vinkeln i $(\cos(x),\sin(x),y)$) och $0\leq y\leq1$ ($y$ är höjden i vår parametrisering). Detta ger integrationsgränserna:

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{2\pi}$ $\cos^2(x)\ dxdy$

Det är alltså egentligen inget variabelbyte; vi integrerar bara samma variabler som vi arbetat med hela tiden.

Jag har lärt mig något av detta, nämligen att man ska döpa sina variabler ordentligt...

EDIT:

Här skriver jag hela lösningen fast med parametervariablerna $s$ och $t$ så kanske det börjar klarna:

Vi har parametriseringen av cylinderytan:

$\mathbf{r}(s,t)=(\cos(t),\sin(t),s)$

där ytan $S$ ges av olikheterna $0\leq t\leq2\pi$ och $0\leq s\leq1$.

Normalen blir:

$\mathbf{n}=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial t}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial s}=$ $(\cos(t),\sin(t),0)$

och absolutbeloppet blir:

$||\mathbf{n}||$ $=\sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)+0^2}=\sqrt{1}=1$

Sätter vi in detta i formeln får vi:

$\displaystyle \iint_S x^2\ dS=\iint_{S_{(s,t)}}$ $\cos^2(t)\cdot1\ dtds$

Eftersom området gavs av olikheterna $0\leq t\leq2\pi$ och $0\leq s\leq1$ blir dessa integrationsgränserna:

$\displaystyle \int_0^1\int_0^{2\pi}$ $\cos^2(t)\ dtds=\pi$

Jag förstod ju att det inte var samma, men svårt att prata om dem :) Jättetack för hjälpen!

Så här gjorde jag men får fel. (Jag växlade koordinater då jag tyckte integralen på rad 3 blev lite jobbig.) Varför blir det fel? Man kanske inte kan göra så här ens en gång...

Det är inget fel med variabelbytet du gör - det är fullt möjligt att göra så, men det har blivit pannkaka redan när du ställer upp integralen.

När man använder sig av formeln:

$\displaystyle\iint_S$ $f(x,y)\ dxdy=$ $\displaystyle\iint_S$ $f(x,y)$ $\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}\ dxdy$

avser $z'_x$ och $z'_y$ ytan som man integrerar över, i vårt fall en cylinderyta. Men för att använda denna formel krävs att ytan är skriven på explicit form ($z=f(x,y)$-form), annars funkar den inte (normalens absolutbelopp blir inte lika med rotuttrycket annars).

Det är därför vi måste använda oss av den mer generella parametriseringsmetoden (ur vilken man även kan härleda ovanstående formel) som vi gick igenom ovan.

Undra varför jag gjorde som jag gjorde.... du har helt rätt. Tack! Ska testa på nytt

Hej Sprite111,

I den integral du ställer upp låter du r, vilket jag förmodar är radien, gå från 0 till 1.

Tänk på att ytan vi ska integrera över är en mantelyta till en cylinder. Enligt uppgiftstexten är cylindern 1 hög (dvs z ska gå från 0 till 1). På mantelytan är radien r en konstant, i uppgiftstexten framgår att r=1.

För att nå alla punkter på mantelytan ska vi gå igenom alla vinklar i xy-planet, dvs vinkeln $\theta$ ska gå från 0 till 2$\pi$, radien r ska hållas konstant = 1 och z ska gå från 0 till 1.

Eftersom ytelementet i cylindriska koordinater med konstant radie är $r d \theta dz$ blir den sökta integralen

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{2\pi} r^2cos^2(\theta)rd \theta dz=\int_0^1 \int_0^{2\pi} \cos^2(\theta)d \theta dz=\pi$

Mhhh, ahh! Tack!!!

Satt faktiskt och klura hur jag skulle gå över till cylindriska koordinater.

Snygg bild med, blir mycket tydligare med bild :)

Snygg bild med, blir mycket tydligare med bild :)

Du vet väl vad jag brukar skriva?!

Oh ja! =) Du är en av anledningarna till varför jag alltid försöker rita :))

Glömmer när jag håller på med lite svårare uppgifter, men det är väl just där det behövs. Speciellt vid integraler.

Hej Micimacko!

En ytintegral är en vidareutveckling av begreppet dubbelintegral, där man går från att integrera över en rektangel till att integrera över mer allmänna ytor. 

När man beräknar ytintegraler vill man alltid återföra beräkningen till integrering över en rektangel; för att göra detta letar man efter en lämplig parameterisering (transformation) som gör att den givna (komplicerade) ytan är en transformation av en rektangel. 

Du har en cylinderyta i rummet som i kartesiska (x,y,z)-koordinater beskrivs av

    $x^2+y^2=1$ och $0\leq z \leq 1$.

Det gäller att parameterisera denna yta så att den kopplas ihop med en rektangel (som är lätt att integrera över). Om man använder cylinderkoordinater $(r,v,z)$ så kan din cylinderyta beskrivas av

    $r = 1$ och $0 \leq v \leq 2\pi$ och $0 \leq z \leq 1$.

I cylinderkoordinater motsvaras din yta av en rektangel i $vz$-planet: $[0,2\pi] \times [0,1]$. Cylinderkoordinater är tydligen lämpliga att arbeta med för att lösa detta problem.

Själva parameteriseringen av cylinderytan ser ut såhär: 

    $x = r\cos v$ och $y = r \sin v$ och $z = z$

där  $r = 1$ och $0 \leq v \leq 2\pi$ och $0 \leq z \leq 1$.

Med hjälp av denna parameterisering kan ytintegralen skrivas som en dubbelintegral över en rektangel.

    $\iint_S x^2 dS = \int_{v=0}^{2\pi} \int_{z=0}^{1} \cos^2 v dvdz = \int_{v=0}^{2\pi} \cos^2 v dv = ...$

Och för klarhetens skull: ifall villkoret $0\le z\le 1$inte hade funnits där så hade ytintegralen gått att lösa endast med polära koordinater?

Tänkte också borde inte $rd\theta dz$ vara det överstrukna nedan?  Radien var konstant!

sprite111 skrev:

Och för klarhetens skull: ifall villkoret $0\le z\le 1$inte hade funnits där så hade ytintegralen gått att lösa endast med polära koordinater?

Tänkte också borde inte $rd\theta dz$ vara det överstrukna nedan?  Radien var konstant!

 Hade uppgiften varit "... där $S$ är cirkeln $x^2+y^2=1$" hade man kunnat använda sig av polära koordinater, ja.

Men det är ganska stor skillnad på en cylinderyta:

och en cirkel:

Cylinderytan är nämligen en tredimensionell yta vilket gör det ganska mycket mer komplicerat att beräkna integralen (man behöver allt det här med normal och sånt). Att beräkna en dubbelintegral över en tvådimensionell cirkel är inte svårare än att bara gå över till polära koordinater (det går ju även att krångla sig igenom en sådan integral med kartesiska koordinater, men det är väldigt omständigt jämfört med att gå över till polära koordinater).

Håller just nu på med att lära mig de de olika övergångarna och när det kan vara passande osv. 

Blev lite konstigt när jag fram tills nu endast sett att uppgifter som berör cylindriska och sfäriska koordinater har haft trippelintegraler inblandat (har då inte tänkt så mycket på det då jag inte än börjat med trippelintegraler). Men de tycks ju vara samma sak att gå från rektangulära till cylindriska bortsett från höjden då, likväl till sfäriska med respektive tillägg. 

Tack för hjälpen och de finna figurerna :)