Vad är skillnaden mellan minus oändlighet och positiv oändlighet?

$e^x$ är monoton. Så om x växer obegränsat så kommer $f(x)=e^x$ att gå mot oändligheten, eller hur? Men lägg märke till att om att om $x < 0="">$, exempelvis -10 så fås $f(x)=\dfrac{1}{e^{10}}$ och detta kommer att dö när x växer väldigt stort. 

Blev det klarare eller vill du ha exempel på detta?

Dracaena skrev:

$e^x$ är monoton. Så om x växer obegränsat så kommer $f(x)=e^x$ att gå mot oändligheten, eller hur? Men lägg märke till att om att om $x <>$ så fås $f(x)=\dfrac{1}{e^x}$ och detta kommer att dö när x växer väldigt stort. 

Blev det klarare eller vill du ha exempel på detta?

Tyvärr det verkar ej klarare alls! Jag händer ej med. 

Okej. 

Säg att vi definerar $f(x)=e^x$

För $x>0$ så kommer detta att växa, eller hur?

$e^1 < e^2 < e^3 < e^4 < e^5 < e^6$ osv.

Om vi istället går åt andra håller så kommer det att minskas, eller hur? 

$e^{-1} > e^{-2} > e^{-3} > e^{-4}$ 

Detta eftersom $e^{- \alpha} = \dfrac{1}{e^{\alpha}}$ men vi har ju redan visat att $e^x$ är monoton (växande).

När x växer så blir nämnaren större och större och efter ett tag är kvoten så pass liten att den är oändligt nära 0. 

Hänger du med så långt?

Dracaena skrev:

Okej. 

Säg att vi definerar $f(x)=e^x$

För $x>0$ så kommer detta att växa, eller hur?

$e^1 < e^2="">< e^3="">< e^4="">< e^5=""><>$ osv.

Om vi istället går åt andra håller så kommer det att minskas, eller hur? 

$e^{-1} > e^{-2} > e^{-3} > e^{-4}$ 

Detta eftersom $e^{- \alpha} = \dfrac{1}{e^{\alpha}}$ men vi har ju redan visat att $e^x$ är monoton (växande).

När x växer så blir nämnaren större och större och efter ett tag är kvoten så pass liten att den är oändligt nära 0. 

Hänger du med så långt?

Ja ,men hur är det om vi har tex något negativt i 1/e^x ?? Man pratar ju om positiv och negativ oändlighet 

Kan du visa matematisk vad du menar? 

I $f(x)=-e^x+1$ så vet vi att $e^x$ går mot $\infty$ när x går mot $\infty$, du får alltså $-$(något oändligt stort)+1=-oändligt stort. 

Hur blir den andra?

Använda de jag visade i inlägg #4 för negativ potens av e. 

Börjar det klarna? 

Dracaena skrev:

Kan du visa matematisk vad du menar? 

I $f(x)=-e^x+1$ så vet vi att $e^x$ går mot $\infty$ när x går mot $\infty$, du får alltså $-$(något oändligt stort)+1=-oändligt stort. 

Hur blir den andra?

Använda de jag visade i inlägg #4 för negativ potens av e. 

Börjar det klarna? 

Vad menar du med negativ potens? Nu visade du att x växer oändligt för e^x och eftersom vi har ett minus framför e^x så blir det -något stort+1 =-oändlighet 

Dracaena skrev:

Okej. 

Säg att vi definerar $f(x)=e^x$

För $x>0$ så kommer detta att växa, eller hur?

$e^1 < e^2="">< e^3="">< e^4="">< e^5=""><>$ osv.

Om vi istället går åt andra håller så kommer det att minskas, eller hur? 

$e^{-1} > e^{-2} > e^{-3} > e^{-4}$ 

Detta eftersom $e^{- \alpha} = \dfrac{1}{e^{\alpha}}$ men vi har ju redan visat att $e^x$ är monoton (växande).

När x växer så blir nämnaren större och större och efter ett tag är kvoten så pass liten att den är oändligt nära 0. 

Hänger du med så långt?

Läs allt efter "Om vi istället går åt andra håller så kommer det att minskas, eller hur? ". Här behandlar vi ju om e^x har en negativ exponent. 

i $g(x) = e^x-5$ så har vi för små x:

$g(-1)=\dfrac{1}{e}-5$

$g(-2)=\dfrac{1}{e^2}-5$

$g(-3)=\dfrac{1}{e^3}-5$

Vilket är precis det vi diskuterade innan!

$g(x) \rightarrow -5$ då $x \rightarrow - \infty$

Notera att $g(x) \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow  \infty$

Om du vill testa dig själv.

$a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (-e^{-x}+10)$

$b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (5e^{-5x}+\dfrac{(x+1)}{x^2-1})$

Dracaena skrev:

Dracaena skrev:

Okej. 

Säg att vi definerar $f(x)=e^x$

För $x>0$ så kommer detta att växa, eller hur?

$e^1 < e^2="">< e^3="">< e^4="">< e^5=""><>$ osv.

Om vi istället går åt andra håller så kommer det att minskas, eller hur? 

$e^{-1} > e^{-2} > e^{-3} > e^{-4}$ 

Detta eftersom $e^{- \alpha} = \dfrac{1}{e^{\alpha}}$ men vi har ju redan visat att $e^x$ är monoton (växande).

När x växer så blir nämnaren större och större och efter ett tag är kvoten så pass liten att den är oändligt nära 0. 

Hänger du med så långt?

Läs allt efter "Om vi istället går åt andra håller så kommer det att minskas, eller hur? ". Här behandlar vi ju om e^x har en negativ exponent. 

i $g(x) = e^x-5$ så har vi för små x:

$g(-1)=\dfrac{1}{e}-5$

$g(-2)=\dfrac{1}{e^2}-5$

$g(-3)=\dfrac{1}{e^3}-5$

Vilket är precis det vi diskuterade innan!

$g(x) \rightarrow -5$ då $x \rightarrow - \infty$

Notera att $g(x) \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow  \infty$

 

Om du vill testa dig själv.

$a) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (-e^{-x}+10)$

$b) \displaystyle \lim_{x \to \infty} (5e^{-5x}+\dfrac{(x+1)}{x^2-1})$

Svaren till uppgifterna

a) = 10
b) = 0

 

Tack! Jag fick 1 i b) men hur blev det 0?

Dracaena skrev:

Kan du visa matematisk vad du menar? 

I $f(x)=-e^x+1$ så vet vi att $e^x$ går mot $\infty$ när x går mot $\infty$, du får alltså $-$(något oändligt stort)+1=-oändligt stort. 

Hur blir den andra?

Använda de jag visade i inlägg #4 för negativ potens av e. 

Börjar det klarna? 

Men blir det ej 0+1 ,jag är lite förvirrad nu faktiskt. När x börjar bli oändligt stort så vi får 1/oändligt stort så går det mot 0 och så adderar vi med 1 ? Jag tolkar det här som att e^x blir oändligt stort och så blir det oändligt -oändlighet som svar