Vad är felet med räknemetoden (3172 a)

Det är volymen V du ska arbeta med, inte arean A.

Du kan tänka så här: Volymen V är en funktion av sidlängden x, som i sin tur är en funktion av tiden t.

Volymen blir alltså V(x(t)).

Kedjeregeln ger då $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$

(Nej Yngve, ingen volym i 3172.)

Kedjeregeln ger

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}$

dx/dt är given och dA/dx kan räknas ut. 

(Du skriver dx/dA, men räknar ut dA/dx.)

Ajdå, jag läste 3171 istället för 3172.

Mer kaffe :-)

Dr. G skrev:

(Nej Yngve, ingen volym i 3172.)

Kedjeregeln ger

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}$

dx/dt är given och dA/dx kan räknas ut. 

(Du skriver dx/dA, men räknar ut dA/dx.)

Men ska man inte sätta "det man vet" i det här fallet vet vi vad dx/dt är lika med de andra uttrycken?

Dvs att sätta dx/dt=(dA/dt) * (dx/dA)

Jag löste a frågan men jag förstår inte varför det blir fel i b . Vi vill ju i b frågan ”hitta” vad dx/dt blir. Så därför satte jag det lika med =….

Det gäller fortfarande att dA/dt = dA/dx^.dx/dt. Det du vet är att dA/dt = 4,5. Arean beror på x eftersom det handlar om en kvadrat - derivera och sätt in att x = 12. Varifrån har du fått att dx/dA = 24?

Du har satt upp kedjeregeln fel.

Det gäller att $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$.

Det betyder att $\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dA}{dt}}{\frac{dA}{dx}}$.

jaha så man ska alltid sätta det man vet lika med allt annat .. I det här fallet vet vi att dA/dt = 4.5cm^2/min då sätter vi det lika med allt annat. I a frågan vet vi att dx/dt = 1.5 cm/min borde vi då inte ha skrivit dx/dt lika med=.......

Katarina149 skrev:

jaha så man ska alltid sätta det man vet lika med allt annat .. I det här fallet vet vi att dA/dt = 4.5cm^2/min då sätter vi det lika med allt annat. I a frågan vet vi att 

Nej. Du ska alltid försöka se hur de sammansatta funktionerna sitter ihop.

I det här fallet är arean A en funktion av sidlängden x, som i sin tur är en funktion av tiden t.

Det betyder att arean A = A(x(t)).

Det betyder i sin tur, enligt kedjeregeln, att yidsderivatan av A är dA/dt = dA/dx•dx/dt.

Men hur ska jag utifrån det här kunna teckna kedjeregeln? Jag vet inte/förstår inte hur man ska tänka

Katarina149 skrev:

Men hur ska jag utifrån det här kunna teckna kedjeregeln? Jag vet inte/förstår inte hur man ska tänka

Arean A = A(x(t)) är en sammansatt funktion.

Då är tidsderivatan av A enligt kedjeregeln lika med dA/dt = dA/dx•dx/dt.

Det här är ingen skillnad mot de tillämpningar av kedjeregeln du är van vid sedan tidigare.

Hur hänger det här "A = A(x(t))" ihop med det här "dA/dt = dA/dx•dx/dt." ? Hur tänkte du när du skrev kedjeregeln? Kan du förklara stegvist ditt tankesätt 

varför beror sidan x av tiden t? dvs varför ska man skriva x(t)?

Därför att uppgiften säger att x inte är konstant, den ändrar sig med tiden. Dvs x(t).

hur kan sidan av en kvadrat ändra sig när det i uppgiften står att den är 12cm

Läs hela meningen i uppgiften.

ok men varför gäller det även i b frågan att 

dA/dt = dx/dt * dA/dx

Varför skulle det inte gälla?

Varför skulle sambandet mellan A, v och t vara annorlunda i b jämfört med i a?

varför är det samma kedjeregel i båda a och b när det är olika saker man vet i varje delfråga och där det är olika saker som efterfrågas

Yngve skrev:

Varför skulle det inte gälla?

Varför skulle sambandet mellan A, v och t vara annorlunda i b jämfört med i a?

 

För informationen som är angiven i uppgift a är att arean ökar med 1.5cm/min . Då borde vi skriva dx/dt= ......

I b så vet vi att arean ökar med 4.5 cm^2/min alltså borde vi skriva det som 

dA/dt =....

Katarina149 skrev:

varför är det samma kedjeregel i båda a och b när det är olika saker man vet i varje delfråga och där det är olika saker som efterfrågas
 

Jämför Fysik 1-kursen där du jobbade med fritt fall-formlerna.

Då gällde ju t.ex. y(t) = y₀+v_0yt+a_yt²/2.

Detta gällde oavsett om det efterfrågades höjd, tid, hastighet eller vad som helst.

Det gällde oavsett om vi kände till y₀, v_0y, t eller a_y.

Samma sak här: Sambandet mellan A, x och t är detsamma. Kedheregeln är densamma.

I vissa fall känner vi till vad dA/dt är, i andra fall känner vi till vad dx/dt är o.s.v.

jaha ok. Men hur ska jag kunna komma fram till formeln dA/dt = dx/dt * dA/dx? Är det en färdig formel som man alltid ska använda när de efterfrågar arean som beror av en sträcka x som även beror av tiden? eller hur ska jag veta vilken formel jag ska använda? det finns jätte många olika kombinationer av kedjeregeln

Katarina149 skrev:

jaha ok. Men hur ska jag kunna komma fram till formeln dA/dt = dx/dt * dA/dx? Är det en färdig formel som man alltid ska använda när de efterfrågar arean som beror av en sträcka x som även beror av tiden? eller hur ska jag veta vilken formel jag ska använda? det finns jätte många olika kombinationer av kedjeregeln

Det har jag nu skrivit massor av gånger.

Om A är en funktion av x, som är en funktion av t så gäller den kedjeregeln, precis på samma sätt som x-derivatan av sin(2x) är cos(2x)•2 och inget annat.

ok gäller det alltså samma formel även i min andra tråd) uppgift som även handlar om en kvadrat

Se vad jag och andra har skrivit i den. 

Ger vi olika budskap?

Ska man bara kunna den formeln utan till isf i sån typ av uppgift? 

Yngve skrev:

Se vad jag och andra har skrivit i den. 

Ger vi olika budskap?

Nej det är nästan helt samma fråga 

Om du vill lära dig saker utantill så kan du göra det.

Jag rekommenderar dock att du istället lär dig att se mönstret.

Ta till exempel en funktion A, som är beroende av en storhet B, som i sin tur är beroende av en storhet C, som i sin tur är beroende av en storhet D.

Dvs vi har funktionen A(B(C(D))).

Då gäller att D-derivatan av A enligt kedjeregeln är lika med dA/dD = dA/dB•dB/dC•dC/dD.

Det här är precis samma sak som de ryska dockorna vi pratade om tidigare 

Katarina149 skrev:

Nej det är nästan helt samma fråga 

Nej, jag undrade om vi ger en annan beskrivning av kedjeregeln där.

Det här steget hängde jag inte med på 

”Då gäller att D-derivatan av A enligt kedjeregeln är lika med dA/dD = dA/dB•dB/dC•dC/dD.”

Katarina149 skrev:

Det här steget hängde jag inte med på 

”Då gäller att D-derivatan av A enligt kedjeregeln är lika med dA/dD = dA/dB•dB/dC•dC/dD.”

Kommer du ihåg de ryska dockorna?

Det här är precis samma sak.

T.ex. så är x-derivatan av e^sin(2•x) lika med e^sin(2•x)•cos(2•x)•2.

Här är A = e^B, B = sin(C), C = 2D och D = x.

Då är dA/dC = dA/dB•dB/dC•dC/dD.

Nja tror att jag har glömt 

Katarina149 skrev:

Det här steget hängde jag inte med på 

”Då gäller att D-derivatan av A enligt kedjeregeln är lika med dA/dD = dA/dB•dB/dC•dC/dD.”

Ja, typ om vi har $f=\sin(\sqrt{2x})$, dess derivata blir:

$\frac{df}{dx}=...$

Cos(sqrt (2x)) * 1/2* (2x)^-1/2 * 2 

Ja precis, det är det som Yngve pratar om.

Katarina149 skrev:

Nja tror att jag har glömt 

De ryska dockorna:

Derivatan av en sammansatt funktion [A(B(C(D)))] med avseende på D, dvs dA/dD, är loka med derivatan av funktionen [dA/dB] multiplicerat med den inre derivatan [dB/dC], multiplicerat med den innersta derivatan [dC/dD].

Det är i princip alltid samma mönster. Man delar upp derivatan med kedjeregeln, t ex:
dA/dt = dA/dx * dx/dt
I andra uppgifter har det varit volym och höjd, samma mönster:
dV/dt=dV/dh*dh/dt

Inte något att lära sig utantill, det handlar om att förstå att en funktion som har en inre funktion måste behandlas med kedjeregeln.
Du kan enkelt kontrollera att du ställt upp rätt genom att delarna HL som namn och "förkorta". Då blir VL kvar (prova på uttrycken jag skrev ovan).

"Vanliga" kedjeregeln skrivs som bekant så här:
Om A(t)=f(g(t)) vilket är samma sak som dA/dt=dA/dx*dx/dt så är
A'(t)=f'(g(t))*g'(t)

Om A=x^2 och x är funktion av t, dvs x(t) får vi om vi sätter in i ovan:
A'(t)=2'(g(t))*x'(t)