Vad är en rand?

Asså... det beror på om mängderna bara är dessa kurvor eller om det som är inuti ingår.

Om vi antar att det vita inuti ingår så är den orangea krumeluren inre punkter, alltså inte rand punkter

Definitionen av en rand borde stå i boken du använder, om du studerar någon kurs med tillhörande litteratur. Här är annars några definitioner som brukar återges i litteratur: https://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_(topology)#Common_definitions

Freewheeling skrev:

Definitionen av en rand borde stå i boken du använder, om du studerar någon kurs med tillhörande litteratur. Här är annars några definitioner som brukar återges i litteratur: https://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_(topology)#Common_definitions

har inte kommit till topologi ännu, det läser vi i mastern sedan, detta är bara flervariabelsanalysen. Men antar att de är samma sak då?

Qetsiyah skrev:

Asså... det beror på om mängderna bara är dessa kurvor eller om det som är inuti ingår.

Om vi antar att det vita inuti ingår så är den orangea krumeluren inre punkter, alltså inte rand punkter

Aaa okej. Och då måste det ju stå i området då? eller?

Ja, du kan rita en orange krumelur varsomhelst i området, det kpmmer vara inre punkter.

Det som står i wiki är för generellt. Det som lärs ut i flervariabelanalys (alltså Rn) är med hjälp av epsilonbollar.

sannakarlsson1337 skrev:

har inte kommit till topologi ännu, det läser vi i mastern sedan, detta är bara flervariabelsanalysen. Men antar att de är samma sak då?

Vilken kursbok har ni? Det kan ge en ledtråd :)

Den vanligaste kursboken i flervariabel är fortfarande Persson Böiers. Den använder två olika randbegrepp.

Två stycken?

Nej, ett stycke :)

Närmare bestämt ett orienterat ytstycke med orienterad rand.

Men i de första kapitlen använder de ett annat begrepp som med standardtopologin är ekvivalent med det mängdteoretiska $\mathrm{bd}(A)=\mathrm{cl}(A)\cap\mathrm{cl}(S\A)$

Jroth skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

har inte kommit till topologi ännu, det läser vi i mastern sedan, detta är bara flervariabelsanalysen. Men antar att de är samma sak då?

Vilken kursbok har ni? Det kan ge en ledtråd :)

Den vanligaste kursboken i flervariabel är fortfarande Persson Böiers. Den använder två olika randbegrepp.

Yes! Personn och Böiers är det .= ) 

Qetsiyah skrev:

Två stycken?

vadå?

Jroth skrev:

Nej, ett stycke :)

Närmare bestämt ett orienterat ytstycke med orienterad rand.

Men i de första kapitlen använder de ett annat begrepp som med standardtopologin är ekvivalent med det mängdteoretiska $\mathrm{bd}(A)=\mathrm{cl}(A)\cap\mathrm{cl}(S\A)$

Vill du rita upp det?

Intuitivt kan du se det som ett område A (området inom det blå strecket), och något som inte är område A. Så här:Det är inte särskilt komplicerat att föreställa sig att den röda punkten ligger i område A. Det skulle de flesta bedömare vara överens om!

Det är inte heller särskilt svårt att komma överens om att den gröna punkten INTE befinner sig i område A.

Men frågan är hur det är med den gula punkten. Den ligger ju precis på gränsen? Eftersom vi inte kan bestämma oss kallar vi den gula punkten för en randpunkt. Om vi samlar ihop alla randpunkter får vi randen (den blå kurvan).

Det är hela saken.

Men notera att vi måste specificera ett område eller en mängd först.

----------------------------------------------------------------------------------

Vill man kan man försöka vara lite mer exakt.

Vi kan dra en cirkel runt den röda punkten som ligger helt inom A. Därför är röd en inre punkt.

Vi kan dra en cirkel runt den blå punkten som ligger helt utanför A. Därför är grön en yttre punkt.

Det är helt omöjligt att fullständigt innesluta gul med en cirkel som ligger helt utanför A, eller helt inom A (försök!). Därför är gul en randpunkt.

Jroth skrev:

Intuitivt kan du se det som ett område A (området inom det blå strecket), och något som inte är område A. Så här:Det är inte särskilt komplicerat att föreställa sig att den röda punkten ligger i område A. Det skulle de flesta bedömare vara överens om!

Det är inte heller särskilt svårt att komma överens om att den gröna punkten INTE befinner sig i område A.

Men frågan är hur det är med den gula punkten. Den ligger ju precis på gränsen? Eftersom vi inte kan bestämma oss kallar vi den gula punkten för en randpunkt. Om vi samlar ihop alla randpunkter får vi randen (den blå kurvan).

Det är hela saken.

Men notera att vi måste specificera ett område eller en mängd först.

----------------------------------------------------------------------------------

Vill man kan man försöka vara lite mer exakt.

Vi kan dra en cirkel runt den röda punkten som ligger helt inom A. Därför är röd en inre punkt.

Vi kan dra en cirkel runt den blå punkten som ligger helt utanför A. Därför är grön en yttre punkt.

Det är helt omöjligt att fullständigt innesluta gul med en cirkel som ligger helt utanför A, eller helt inom A (försök!). Därför är gul en randpunkt.

Men hur förhåller sig gula punkten då , om man skulle säga att den är en nollmängd, dvs kvadrerbar?

Jroth: haha jag menade bara finns det verkligen två definktioner i böjers? Jag trodde bara en, alltså:

Qetsiyah skrev:

Jroth: haha jag menade bara finns det verkligen två definktioner i böjers? Jag trodde bara en, alltså:

Visa spoiler

Både du och suad har många frågor om nollrander och kvadrerbara mängder, det är egentligen enklare än ni tror. Och om jag ska vara ärlig, inte så viktig om du bara vill klara flervariabelkursen.

joo, för den kommer med i definitionen om variabelbyten??

Qetsiyah skrev:

Jroth: haha jag menade bara finns det verkligen två definktioner i böjers? Jag trodde bara en, alltså:

Kolla på sidan 379.

Qetsiyah skrev:

Jroth: haha jag menade bara finns det verkligen två definktioner i böjers? Jag trodde bara en, alltså: 

Perssson Böiers har några kapitel kapitel vektoranalys i slutet av boken där de bland annat tar upp ett begränsat specialfall av Stokes sats i $\mathbb{R}^3$. Där skriver de (min parafrasering)  "Observera att vi här använder ordet rand på ett sätt som vi inte tänker förklara närmare",

sannakarlsson1337 skrev:

joo, för den kommer med i definitionen om variabelbyten??

Menar du bilden som suad laddade upp här? Ja, det är inte viktigt där heller (det som dock är extremt viktigt är att jacobianen måste vara nollskild i området). Som du kan läsa i länken så är det svårt att ens konstruera een normal mängd som man kan tänkas vilja integrera över i R2 (eller Rn) som inte är kvadrerbar. Det finns andra villkor/undantag/specialfall för andra satser som är viktigare att minnas än denna.

Om jag har fel så får nån påpeka det.

Jroth, parveln: åh... Jag har inte kommit till stokes sats sist i boken än. Det är en sån rand jag frågar efter i https://www.pluggakuten.se/trad/topologi-mangfalder-och-deras-rand/

Jroth skrev:

Intuitivt kan du se det som ett område A (området inom det blå strecket), och något som inte är område A. Så här:Det är inte särskilt komplicerat att föreställa sig att den röda punkten ligger i område A. Det skulle de flesta bedömare vara överens om!

Det är inte heller särskilt svårt att komma överens om att den gröna punkten INTE befinner sig i område A.

Men frågan är hur det är med den gula punkten. Den ligger ju precis på gränsen? Eftersom vi inte kan bestämma oss kallar vi den gula punkten för en randpunkt. Om vi samlar ihop alla randpunkter får vi randen (den blå kurvan).

Det är hela saken.

Men notera att vi måste specificera ett område eller en mängd först.

----------------------------------------------------------------------------------

Vill man kan man försöka vara lite mer exakt.

Vi kan dra en cirkel runt den röda punkten som ligger helt inom A. Därför är röd en inre punkt.

Vi kan dra en cirkel runt den blå punkten som ligger helt utanför A. Därför är grön en yttre punkt.

Det är helt omöjligt att fullständigt innesluta gul med en cirkel som ligger helt utanför A, eller helt inom A (försök!). Därför är gul en randpunkt.

BTW:.. detta sa min lärare i en kommentar att detta inte gäller i rymden?? stämmer deT?

sannakarlsson1337 skrev:

BTW:.. detta sa min lärare i en kommentar att detta inte gäller i rymden?? stämmer deT?

Ja, som vi förklarar ovan innehåller t.ex Perssson Böiers åtminstone två olika randbegrepp. Det som anges ovan är mängdteoretiskt ekvivalent med $\mathrm{bd}(A)=\mathrm{cl}(A)\cap\mathrm{cl}(S\A)$ (som visserligen kan generaliseras).

I rymden kommer alla punkter på en yta vara randpunkter givet en naiv tillämpning av definitionen. Men när vi använder Stokes sats vill vi  gärna tala om en ytas begränsning som den "randkurva" som begränsar ytan i rummet. Dessutom vill vi gärna klistra på en orientering.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rand är tyska och betyder kant eller gräns.

Jag tycker att du ska tänka på rand som det som begränsar något. T.ex. är Sveriges gräns vår rand eller kant mot andra länder.

I 3 dimensioner är en sidorna av en kub dess rand, det är det som begränsar kuben. 

Skulle vi försöka göra en matematisk definition av rand som på ett bra sätt generaliserar något med skarpa kanter, som t.ex. en kub, till en godtycklig mångfald, måste vi göra en ganska komplicerad konstruktion, särskilt om vi vill vara snobbiga och inte tillåta parameterframställning eller koordinater.