Vad är en ”hopningspunkt”?

Jag tycker Wikipedia förklarar rätt bra:

"Hopningspunkt är en term inom matematisk analys och topologi, som används för flera snarlika begrepp. Enkelt uttryckt sägs en punkt a vara en hopningspunkt till en följd A om följdens element kommer hur nära a som helst, hur många gånger som helst. Med en hopningspunkt för en mängd menas däremot ofta detsamma som en gränspunkt för mängden."

Hur lyckas du leta på nätet utan att hitta ordet på det mest självklara stället av alla? Eller menar du att du inte förstår vad det står där?

Ja, jag har tittat där, men då vet jag inte egentligen vad skillnaden mellan hopningspunkt och gränsvärde är..

”Enkelt uttryckt sägs en punkt a vara en hopningspunkt till en följd A om följdens element kommer hur nära a som helst, hur många gånger som helst”

Vad är skillnaden mellan detta och, 

$\underset{x\to x_0}{\lim f\left(x\right)=L}$

Är självaste x_0 hopningspunkten? Vilka krav sätts på x_0 för att det faktist ska vara en hopningspunkt? I analys, kontinuitet. 

[Alltså: Problemet jag upplevde med wikipedia var: den enkelt uttryckta förklaringen kändes allt förenklad då den väckte ännu fler frågor medan den ingående kändes för komplicerad när den börjar tala om topologi och dylikt, jag läser basal universitetsmatematik]

I kursen Analysens grunder brukar man definiera begreppet hopningspunkt:

Vid definition av  gränsvärde, brukas traditionellt den s.k."epsilon-delta-definitionen":

dr_lund skrev:

I kursen Analysens grunder brukar man definiera begreppet hopningspunkt:

Vid definition av  gränsvärde, brukas traditionellt den s.k."epsilon-delta-definitionen":

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Metriskt_rum Vi har inte talat om detta? Ser komplicerat ut, vet inte vad som menas med en kryssprodukt i definitionsmängden, ”d(x,y)”? En funktion av två variabler? Inte jobbat med sånt ännu. Okej, men det känns fortfarande som ett gränsvärde? X_k går mot x då k går mot oändligheten? Finns det någon exempeluppgift där man ska finna hopningspunkten? Sen kanske även finnas funktionens gränsvärde för att kunna få en moralisk förståelse av skillnaden?

En följd består av diskreta element. Gränsvärden brukar handla om (bitvis) kontinuerliga funktioner

Först och främst: Det vore bra om vi kunde få lite mer kontext. I vilket sammanhang är det din kursbok använder begreppet "hopningspunkt"? Det finns lite olika varianter av begreppet (vilket gör att det lätt blir lite förvirrande när man försöker slå upp det i olika källor), och det blir lättare för alla om vi vet vilken variant det är du är intresserad av.

Men ett sätt att tänka på hopningspunkter är följande.

Vi börjar med att påminna oss om att ett metriskt rum är en mängd $X$ där det finns en avståndsfunktion $d$ som uppfyller vissa krav (googla!). För två punkter $x,y\in X$ ger avståndsfunktionen ett tal $d(x,y)\geqslant 0$ som vi kallar för avståndet mellan $x$ och $y$.

Låt nu $X$ vara ett metriskt rum, och låt $S\subset X$ vara en mängd element i $X$. En hopningspunkt till $S$ är då en punkt $x\in X$ som ligger oändligt nära (eller rent av i) mängden $S$. 

Detta låter så klart lite flummigt. Ett mer precist sätt att uttrycka det, är att säg att $x$ kan approximeras godtyckligt väl med hjälp av element i $S$. 

Eller ännu mer precist: Hur litet $\varepsilon >0$ vi än väljer, så kommer det finns punkter finnas något $s\in S\setminus\{x\}$ sådant att $d(x,s)<\varepsilon$.

Sidenote: Om $X$ är ett allmänt topologiskt rum (där det makear sense att tala om öppna mängder, men där det inte nödvändigtvis finns något meningsfullt avståndsbegrepp), så säger vi i stället att vilken öppen omgivning $U\subset X$ av $x$ än väljer, så kommer det finnas någon funkt $s\in S\setminus\{x\}$ sådant att $s\in U$.

Prototypiskt exempel: Låt rummet vara $X=\mathbb{R}$ och låt delmängden vara $S=\mathbb{Q}$. Då hävdar jag att $x=\pi$ är en hopningspunkt till $\mathbb{Q}$.

Varför då? Jo, $\pi$ kan approximeras godtyckligt väl av rationella tal genom att bara hugga av decimalutvecklingen efter ett tillräckligt stort antal decimaler.

Om jag exemplevis vill ha en approximation av $\pi$ med ett fel mindre än $\varepsilon=0.01$ så kan jag hugga av decimalutvecklingen efter fyra decimaler så att vi får en rationell approximation   $s=3.141=\frac{3141}{1000}\in S\,.$

Ju mindre $\varepsilon>0$ vi väljer, desto fler decimaler av $\pi$ kommer vi att behöva spara. Men poängen är att det går att approximera $\pi$ hur bra som helst med hjälp av de rationella talen. Eller flummigare uttryckt: $\pi$ ligger "oändligt nära" de rationella talen!

Övningar (säg gärna till om du behöver hjälp):

• Låt $X=\mathbb{R}$, och låt $S=(0,1)$.
  (a) Förklara varför $x=0$ är en hopningspunkt till $S$.
  (b) Förklara varför $x=0.5$ är en hopningspunkt till $S$.
  (c) Förklara varför $x=3$ inte är en hopningspunkt till $S$.
• Låt $X$ vara ett metriskt (eller topologiskt) rum, och låt $S\subset X$ vara en delmängd. Visa att varje $x\in S$ garanterat kommer att vara en hopningspunkt till $S$. (Detta är lätt!)
• Låt $X=\mathbb{R}$ och låt $S=\mathbb{Q}$. Finns det något reellt tal som inte är en hopningspunkt till $\mathbb{Q}$?
• Låt $X=\mathbb{R}$ och låt $S=\mathbb{Z}$. Är $1/3$ en hopningspunkt till $\mathbb{Z}$?
• Låt $X=\mathbb{R}$ och låt $S=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\}$.
  (a) Förklara varför $0$ är en hopningspunkt till $S$.
  (b) Ge exempel på några tal som inte är hopningspunkter till $S$. 
• Utmaning: Låt $f: X\to \mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion, och låt $S\subset X$ vara en delmängd, sådan att alla $s\in S$ är nollställen till $f$. Visa att alla hopningspunkter till $S$ också kommer att vara nollställen till $f$.

En liten bonus (men som nog är lite överkurs) är Weierstrass berömda approximationssats. Den säger följande:

• Låt $[a,b]\subset \mathbb{R}$ vara ett kompakt intervall på tallinjen.
• Låt $X=\mathcal{C}[a,b]$ vara mängden av alla kontinuerliga funktioner $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, och låt avståndet $d(f,g)$ mellan två funktioner $f,g\in X$ vara definerat som den största avståndet mellan deras värden, när man genomlöper hela definitionsmängden.
  Med andra ord: $d(f,g)=\max_{x\in [a,b]} |f(x)-g(x)|$.
• Låt vidare $S=\mathcal{P}[a,b]$ vara mängden alla polynomfunktioner på intervallet $[a,b]$.

Då är varje $f\in X$ en hopningspunkt till $S$.

Att bevisa detta kräver lite jobb, men det Weirstrass approximationssats i grund och botten säger är i vart fall att varje kontinuerlig funktion på ett kompakt intervall kan approximeras godtyckligt väl av polynomfunktioner! Detta är inte bara coolt, utan också något man har stor nytta av när man vill lagra signaler och annan kontinuerlig mätdata digitalt, bland annat eftersom det är mycket lättare att spara ner ett polynom i en fil (man behöver bara ange ett ändligt antal koefficienter) än att spara ner en hel funktion.

Tillsammans med Taylors sats (som du nog redan har stött på i envariabelanalysen) så tycker jag detta ger ganska starka belägg för att hävda att polynom är de absolut viktigaste och mest fundamentala funktionerna av en variabel! 

Anledning till att jag tog upp detta var dock inte främst för att sälja in polynomfunktioner, utan för att jag ville visa att hopningspunkter är något väldigt centralt inom matematiken, och att det inte alls enbart behöver handla om att approximera tal på tallinjen som i de klassiska exemplen jag tog upp i föregående inlägg, utan att det också kan handla om att approximera mer komplicerade och intressanta matematiska objekt som t.ex. funktioner.