Vad är det störta avståndet mellan en punkt P i y-axel från en tangent och origo?

Börja med att ta fram en ekvation för tangenten till kurvan i en punkt $x=a$. Beräkna sedan skärningspunkten med $y$-axeln.

Sedan kan du ställa upp ett uttryck med distansformeln med vilket du kan undersöka det största avståndet mellan punkten och origo.

$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$ men vet inte vad jag ska göra med denna? Går inte riktigt att sätta x = 0 utan att uttrycket blir 0. Det är inte heller lätt att faktorisera f prim av x eller ens att titta vad som händer när x går mot oändligheten. Punkten P är "m" (skärningen i y-axeln), vilket betyder att x måste vara 0. Att derivera den och titta vart den är noll ger inte heller svaret...

Tangeringspunkten är (x,f(x)).

Tangentens lutning är f'(x), som du har räknat ut.

Skriv tangentens ekvation på enpunktsform. Var skär den y-axeln?

$$\begin{gathered} y=kx+m \\ k=f\text{'}\left(x\right)=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2} \\ y=f\left(x\right) \\ f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)*x+m \\ \frac{1}{(x^2+1)}=-\frac{2x^2}{(x^2+1{)}^2}+m \end{gathered}$$

Den skär y-axeln vid x = 0. Ska jag derivera m? Med tankte på att vi vill ha så stort m som möjligt

Edit: derivera och sätta lika med 0 gav inte svaret

För tangenten så är inte y = 1/(x^2 + 1). 

Att derivera är en bra idé, men varför skulle derivatan ha värdet 0?

Om $P=(0,a(x))$ och $(x,f(x))$ är tangeringspunkten, så gäller att:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{a(x)-f(x)}{0-x}=f'(x)$

Sedan söks $\max_x a(x)$

Det är lätt att bli förvirrad. Rita en bild.

Jag har ritat en bild, och den gjorde bara att det blev svårt att se hur svaret blir 9/8. Tomast80, jag gjorde det du skrev i min y = kx+m. Det är inte svaret tyvärr... Om du tittar så blir det samma sak som min! Är det någon som VET vad det första steget är? Verkar bara som att jag och andra kommer med massor av idéer som inte är grundade i något speciellt.

Första steget är att ta fram tangentens ekvation för x = a och se var den skär y-axeln (x = 0). Du får då ett uttryck för skärningshöjden som beror på a och du kan t.ex derivera detta m.a.p a för att hitta ett maximum.

Jag föredrar tangentens ekvation på enpunktsform. tomast80s metod är väsentligen samma sak.  

Jag har ritat en bild, och den gjorde bara att det blev svårt att se hur svaret blir 9/8.

Kan du lägga in bilden här, och berätta på vilket sätt den gjorde det svårare att se svaret?!

Det känns ganska uppenbart för mig att värdet blir större än 1. För att komma fram till värdet behöver jag räkna.

xddddddd skrev:

Jag har ritat en bild, och den gjorde bara att det blev svårt att se hur svaret blir 9/8. Tomast80, jag gjorde det du skrev i min y = kx+m. Det är inte svaret tyvärr... Om du tittar så blir det samma sak som min! Är det någon som VET vad det första steget är? Verkar bara som att jag och andra kommer med massor av idéer som inte är grundade i något speciellt.

 Precis som de andra skriver: redovisa hela din beräkning, annars blir det svårt för oss att hjälpa till.

Jag har kontrollerat att min beräkning ger just att:

$\max_x a(x)=\frac{9}{8}$ så någonstans på vägen gör du ett fel.

xddddddd skrev:

Jag har ritat en bild, och den gjorde bara att det blev svårt att se hur svaret blir 9/8. Tomast80, jag gjorde det du skrev i min y = kx+m. Det är inte svaret tyvärr... Om du tittar så blir det samma sak som min! Är det någon som VET vad det första steget är? Verkar bara som att jag och andra kommer med massor av idéer som inte är grundade i något speciellt.

AlvinB gav en fullständig anvisning för hur man gör. 

a(x) är y + y'(x) = m, vilket jag skrev där uppe. Det blir $\frac{1}{(x^2+1)}+\frac{2x^2}{(x^2+1{)}^2}=m$. För att få ut m max så deriverar vi och sätter lika med 0 för att få ut extrempunkten. $m\text{'}=2x(-\frac{2x}{(1+x{)}^3}+\frac{2}{(1+x{)}^3}-\frac{1}{(1+x^2{)}^2})$ och de reella lösningarna är x = 0, x = 1 samt x = 0.38

Edit: min slutsats, både här och flera posts sedan, är att inga av dessa värden när man sätter in dem i m = ... är korrekt.

Jag vet inte riktigt vad du räknar ut.

Tangenten i punkten (a,f(a)) har ekvation

y - f(a) = f'(a)*(x - a)

där f(a) och f'(a) är kända uttryck i a.

Du vill ha y-värdet där x = 0, alltså

y - f(a) = f'(a)*a

så y = f(a) + f'(a)*a

Om man visar att det är i inflexionspunkten man hittar den tangent som kommer högst på y-axeln så tror jag man inte behöver derivera lika mycket.

Dr. G, om du tittar på mitt inlägg så ser du att m värdet i min ekvation är y värdet i din. m värdet  är där tangenten till kurvan träffar y-axeln, vilket är vad vi vill. Jag kom fram till att det värdet är f(x) + f'(x) * x, vilket är exakt samma sak som du skrev.

xddddddd skrev:

Dr. G, om du tittar på mitt inlägg så ser du att m värdet i min ekvation är y värdet i din. m värdet  är där tangenten till kurvan träffar y-axeln, vilket är vad vi vill. Jag kom fram till att det värdet är f(x) + f'(x) * x, vilket är exakt samma sak som du skrev.

 Ja, titta! Jag blev förvirrad av meningen

a(x) är y + y'(x) = m, vilket jag skrev där uppe.

Jag tror att något är fel i den deriverade formeln m'. (Förutom att det står 1+x, men det är nog ett skrivfel.)

Derivatan gjordes genom WolframAlpha, och får samma resultat på miniräknaren, så tror inte derivatan är fel :P

Dr. G skrev:

Jag vet inte riktigt vad du räknar ut.

Tangenten i punkten (a,f(a)) har ekvation

y - f(a) = f'(a)*(x - a)

där f(a) och f'(a) är kända uttryck i a.

Du vill ha y-värdet där x = 0, alltså

y - f(a) = f'(a)*a

så y = f(a) + f'(a)*a

Här sumpade jag ett minustecken:

y = f(a) - f'(a)*a, och inget annat

så

y'(a) = f'(a) - f'(a)*1 - a*f''(a) = -a*f''(a)

y'(a) = 0 om a = 0 eller f''(a) = 0, så vi hamnar i inflextionspunkten som Laguna misstänkte!

xddddddd skrev:

Derivatan gjordes genom WolframAlpha, och får samma resultat på miniräknaren, så tror inte derivatan är fel :P

Deriveringen är rätt, men du deriverar fel uttryck.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+1%2F(1%2Bx%5E2)+%2B+2x%5E2%2F(1%2Bx)%5E2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+1%2F(1%2Bx%5E2)+%2B+2x%5E2%2F(1%2Bx%5E2)%5E2

Laguna skrev:

xddddddd skrev:

Derivatan gjordes genom WolframAlpha, och får samma resultat på miniräknaren, så tror inte derivatan är fel :P

Deriveringen är rätt, men du deriverar fel uttryck.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+1%2F(1%2Bx%5E2)+%2B+2x%5E2%2F(1%2Bx)%5E2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+1%2F(1%2Bx%5E2)+%2B+2x%5E2%2F(1%2Bx%5E2)%5E2

 Yupp, det var det! Tack!!