Vad är egentligen derivatan för något?
Hej pluggakuten!
Jag vill gärna backa några steg och ställa lite frågor på gymnasienivå igen :) Känns som man behöver ha en bra grundförståelse av calculus om man ska ha en chans på analys.
Jag har nämligen lite svårt att förstå exakt vad derivata innebär för något (utöver tangentens lutning). Jag har sett det beskrivas som både förändringshastighet och (momentan)hastighet. Är dessa två begrepp samma sak? Om jag tänker mig en bil som färdas så föreställer jag mig att förändringshastighet handlar om acceleration och decelaration, medan (momentan)hastighet är hastigheten i ögonblicket oaktat tidigare värde.
När jag kikar i kursboken, så verkar det som att förstaderivatan för en fallande boll fångar bollens hastighet vid tidpunkt x, medan andraderivatan fångar dess acceleration (9.8 m/s^2). Utifrån detta verkar det som att förstaderivatan fångaar momentanhastighet och att andraderivatan snarare fångar förändringshastighet?
Jag tar tacksamt emot hjälp i detta! :)
https://www.pluggakuten.se/trad/derivata-1923/?#post-eb7da457-4b22-4733-b6ea-b15401260b7e
Kan denna tråd hjälpa dig?
Ja, den hjälpte mig en bit framåt! Om jag delar upp definitionen/beskrivningen av derivata i olika kategorier:
Formellt: you know the equation
Geometriskt: tangenten till en punkt/kurvans lutning i en punkt
Tillämpat: "förändringshastighet" tycks vara det generella ordet för att beskriva derivatan
Jag hakar fortsatt upp mig på definitionen i den tillämpade kategorin. Jag känner snarare för att beskriva första derivatan som förändringen i en punkt (tex hastighet), och andra derivatan som förändringshastigheten i en punkt (tex acceleration). Låter detta rimligt? Eller är jag fel ute...? :)
Nja, förändringshastighet är derivatan. Förändringshastigheten för förändringen är andraderivatan. Förstaderivatan beskriver förändringen av originalfunktionen. Andraderivatan har samma relation till derivatan som derivatan har till originalfunktionen dvs att den beskriver förändringen av derivatan. Och förändringen av förändringen alltså hur snabbt en förändring av något förändras, vilket är just accelerationen.
MrPotatohead skrev:Nja, förändringshastighet är derivatan. Förändringshastigheten för förändringen är andraderivatan. Förstaderivatan beskriver förändringen av originalfunktionen. Andraderivatan har samma relation till derivatan som derivatan har till originalfunktionen dvs att den beskriver förändringen av derivatan. Och förändringen av förändringen alltså hur snabbt en förändring av något förändras, vilket är just accelerationen.
Tack för svaret! Då förstår jag och håller mig till "förändringshastighet" för beskrivning av derivata i mer tillämpade sammanhang! Och så är den samma för 1a och 2a derivatan, bara att i sistnämnda fall så blir det förändringshastigheten för förändringshastigheten (vilket blir samma sak som acceleration).
Tror jag hakade upp mig på att "förändringshastighet" kändes som en synonym till acceleration! Och att det på något sätt inte kändes som samma slags sak som hastighet. Men då ska alltså begreppen förändringshastighet och (momentan)hastighet beskriva samma sak.
Tack för hjälpen :)
Förändringshastighet är nog inte ekvivalent med derivata utan momentan förändringshastighet är derivata. "Vanlig" förändringshastighet kan ges av .
MrPotatohead skrev:Förändringshastighet är nog inte ekvivalent med derivata utan momentan förändringshastighet är derivata. "Vanlig" förändringshastighet kan ges av .
Tack för förtydligandet! Jag justerar direkt! :)
Det var petigt. Men om du googlar själv på förändringshastighet så ser du många exempel på hur andra definierar det. :)
MrPotatohead skrev:Det var petigt. Men om du googlar själv på förändringshastighet så ser du många exempel på hur andra definierar det. :)
Jag uppskattar petighet i sammanhang som dessa :D
Härligt! (dedär var en kul emoji ":D")
MrPotatohead skrev:Härligt! (dedär var en kul emoji ":D")
Eller hur! En petighetens glädje som kom till uttyck!
Passar på att ställa ytterligare en fråga! Sorry!
Skulle du säga att "momentan förändringshastighet" är ett bredare och mer generellt begrepp än "momentanhastighet", där sistnämnda handlar specifikt om kroppars rörelse i rummet (tex en bils körhastighet)?
Medan "momentan förändringshastighet" täcker in tex en bils körhastighet men även mer än så, tex hur snabbt en bakteriekultur växer?
Tänker på en lite mer vardaglig nivå! :)
Det låter rimligt!
Tack för detta! :)
