vad är derivata?
förstaderivata är förändringshastigheten för en funktion. Men jag tycker det är rimligare att det bara är hastigheten eftersom det är lutningen i en punkt.
andraderivatan borde väll istället vara förändringshastigheten eftersom den är hur hastigheten förändras?
tack i förhand!
Rent allmänt kan man tänka sig att förstaderivatan beskriver lutningen och andraderivatan förändringen av lutningen, ja.
Det är dock väldigt viktigt att tänka på vilken originalfunktion du har. Det låter som att du tänker dig att funktionen från början beskriver sträckan någonting har färdats som en funktion av tiden. Låt oss beteckna den funktionen för f(t).
Förstaderivatan för funktionen, f'(t), beskriver hur snabbt sträckan förändras (lutningen i en punkt), det vill säga förändringshastigheten för sträckan. Det blir i det här fallet samma sak som hastigheten för objektet.
Andraderivatan för funktionen, f''(t), beskriver hur lutningen förändras i en punkt. I det här fallet är det detsamma som accelerationen för objektet.
Något som följer av detta är att förstaderivatan (hastigheten) kan beskrivas som förändringshastigheten av sträckan, medan andraderivatan (accelerationen) kan beskrivas som förändringshastigheten av hastigheten. Det hänger ihop med att andraderivatan helt enkelt bara är derivatan av förstaderivatan.
Tänk dock på att funktioner kan beskriva allt möjligt, och kan framförallt vara mycket mer abstrakta. Du kan inte alltid koppla dem till konkreta saker såsom hastighet, acceleration eller liknande.
Tegelhus skrev:Rent allmänt kan man tänka sig att förstaderivatan beskriver lutningen och andraderivatan förändringen av lutningen, ja.
Det är dock väldigt viktigt att tänka på vilken originalfunktion du har. Det låter som att du tänker dig att funktionen från början beskriver sträckan någonting har färdats som en funktion av tiden. Låt oss beteckna den funktionen för f(t).
Förstaderivatan för funktionen, f'(t), beskriver hur snabbt sträckan förändras (lutningen i en punkt), det vill säga förändringshastigheten för sträckan. Det blir i det här fallet samma sak som hastigheten för objektet.
Andraderivatan för funktionen, f''(t), beskriver hur lutningen förändras i en punkt. I det här fallet är det detsamma som accelerationen för objektet.
Något som följer av detta är att förstaderivatan (hastigheten) kan beskrivas som förändringshastigheten av sträckan, medan andraderivatan (accelerationen) kan beskrivas som förändringshastigheten av hastigheten. Det hänger ihop med att andraderivatan helt enkelt bara är derivatan av förstaderivatan.
Tänk dock på att funktioner kan beskriva allt möjligt, och kan framförallt vara mycket mer abstrakta. Du kan inte alltid koppla dem till konkreta saker såsom hastighet, acceleration eller liknande.
Ok! Tack! Hur vet man att andraderivatan beskriver hur lutningen ändras i en punkt? Tycker det är knepigt att föreställa mig vad derivata är i bilder liksom.
lovisla03 skrev:Tegelhus skrev:Rent allmänt kan man tänka sig att förstaderivatan beskriver lutningen och andraderivatan förändringen av lutningen, ja.
Det är dock väldigt viktigt att tänka på vilken originalfunktion du har. Det låter som att du tänker dig att funktionen från början beskriver sträckan någonting har färdats som en funktion av tiden. Låt oss beteckna den funktionen för f(t).
Förstaderivatan för funktionen, f'(t), beskriver hur snabbt sträckan förändras (lutningen i en punkt), det vill säga förändringshastigheten för sträckan. Det blir i det här fallet samma sak som hastigheten för objektet.
Andraderivatan för funktionen, f''(t), beskriver hur lutningen förändras i en punkt. I det här fallet är det detsamma som accelerationen för objektet.
Något som följer av detta är att förstaderivatan (hastigheten) kan beskrivas som förändringshastigheten av sträckan, medan andraderivatan (accelerationen) kan beskrivas som förändringshastigheten av hastigheten. Det hänger ihop med att andraderivatan helt enkelt bara är derivatan av förstaderivatan.
Tänk dock på att funktioner kan beskriva allt möjligt, och kan framförallt vara mycket mer abstrakta. Du kan inte alltid koppla dem till konkreta saker såsom hastighet, acceleration eller liknande.
Ok! Tack! Hur vet man att andraderivatan beskriver hur lutningen ändras i en punkt? Tycker det är knepigt att föreställa mig vad derivata är i bilder liksom.
f'(t) beskriver hur snabbt f(t) ändras
På samma sätt gäller att
f''(t) beskriver hur snabbt f'(t) ändras
Och då är ju f(t) funktionen du börjar med, och f'(t) beskriver lutningen av den. f''(t) blir då som "lutningen av lutningen", dvs hur snabbt lutningen ändras.
Vet inte hur man skulle kunna visa det mer med bilder. Möjligtvis att du skulle kunna testa att rita upp en andragradsfunktion med både dess förstaderivata och andraderivata, och fundera på hur de hänger ihop.
Edit: Förhoppningsvis förvirrar det här inte dig ännu mer, men man kan ju fortsätta derivera hur länge som helst (givet en funktion som tillåter det). T.ex. skulle tredjederivatan f'''(t) intuitivt kunna förklaras som "lutningen av lutningen av lutningen av f(t)", och så vidare.
