Vad är antalet sätt att placera 8 personer runt ett bord om två inte vill sitta bredvid varandra?

Jag tycker inte heller detta är lätt med kombinatorik men nu har jag nått fram till samma svar med två tankesätt vilket gör att jag i alla fall tror att det är rätt.

Det är alltid bra när man har ett runt bort och först placera en person fixt som referenspunkt i cirkeln. Övriga 7 personer går då att placera på 7! sätt runt honom/henne

Sätt 1:

I sätt nummer 1 räknar jag här bort de kombinationer där de två specifika personerna(x1 och x2 sitter bredvid varandra). Om vi placerar ut dem bredvid varandra på detta sätt, så kan övriga sex personer runt dem väljas på 6! Dock måste vi också tänka in att x2 kan sitta både på x1:s högra och vänstra sida, vi kan alltså skifta plats på dem vilket är dubbelt så många kombinationer. x1 och x2 kan alltså sitta bredvid varandra på 6!*2 sätt.

Då får jag räkna bort dem från det totala antalet kombinationer 7!-(6!*2)=3600

Sätt 2:

Här väljer jag att inte räkna bort något utan istället räkna antalet möjligheter för X1 och x2 att inte sitta jämte varandra. Jag börjar med att placera dem med en stols mellanrum. Då kan jag placera de andra sex på 6! sätt. De kan också sätta dem med två stolars mellanrum, då finns också 6! sätt att placera de andra sex på. De kan sitta även med fyra eller fem stolars mellanrum. (Därefter så hamnar de bredvid varandra igen ju). Det finns alltså 5 olika sätt att placera dem så de inte sitter jämte varandra och de övriga kan då för varje gång placeras på 6! sätt. Alltså 6!*5=3600 sätt. (Jag behöver inte skifta plats på x1 och x2 och dubblera sätten eftersom jag får med dem när jag flyttar runt x2 fler och fler stolar ifrån eftersom denne då hamnar till höger om x1 också)

Hej, tack. Varför gör du 7!-(6!*2)=3600 i stället för 8!-(6!*2), det finns väl 8! totala kombinationer? Eller menar frågan att hur personerna sitter relativt med varandra är det enda som spelar roll, och inte vilka platser också?

Man kan tänka på två sätt för att förstå att det totala antalet kombinationer är 7!

Ett sätt är att tänka att man sätter ut en person från början som referenspunkt, som är fast placerad och markerar starten på cirkeln. Då kan resten placeras på 7! sätt.

Ett annat sätt är att vi även placerar ut den först personen, då får vi 8! placeringar. MEN! Eftersom det är ett runt bord så måste vi tänka på att om vi roterar platserna ett snäpp så är det fortfarande samma placering, det beror ju bara på var man tittar ifrån eller vad bordet börjar.

Vi kallar personerna A-H. Här är exempelvis exakt samma placering som bara är att vi snurrat på bordet. Du har räknat med alla de här åtta olika rotationerna(jag har visat tre av dem här) som olika placeringar men det är det ju inte. De sitter på precis samma sätt. Det har då gjorts på alla olika kombinationer. För att bara få med de unika så får vi då dela med 8(antalet rotationer som går att göra på varje kombination). Då har vi $\frac{8!}{8}=7!$Det är ett annat sätt att motivera på varför det ska vara 7! totala (unika) kombinationer. Detta problemet uppstår bara när vi har en cirkel, inte om de åtta personerna skulle sitta på en rad. 

Jonto skrev:

Jag förstår. Jag trodde faktiskt rotationen på bordet spelar roll, men tydligen gör det inte, bara hur de sitter. Tack fpr hjälpen

Ingen orsak