uuuuuuuuh derivata!!! (Df(x) = \ln(|\cot(8\cdot x)|)= WHAT?)

Tricket här är att inse att absoluttecknena försvinner när man har dem i en logaritm och deriverar:

$f(x)=ln(|x|)$

$f'(x)=\frac{1}{x}$

Pröva med grafräknaren och se om du kan förstå varför det är så.

Detta är även anledningen till att man säger att svaret på följande integral

$\displaystyle \int \frac{1}{x}\ dx$

är $ln(|x|)+C$ och inte bara $ln(x)+C$ (definitionsmängden blir ju dubbelt så stor om man gör på det första sättet!)

Ok, det är nog att $ln$ kan inte ploppa ut negativa tal, så vi måste mäta den med tal som först normeras i absolutbelopp funktion. Men varför försvarar dem när man deriverar är jag inte med, jag är ledsen :(  

Okej, tänk så här:

$ln(|x|)$ ger ju samma värden som $ln(x)$ för $x > 0$, och för $x <>$ är grafen speglad i y-axeln. Om grafen är speglad borde ju derivatan vara med ombytt tecken på det intervallet (derivatan med ombytt tecken ger ju samma lutning fast från vänster, pröva några räta linjer med t.ex. $k=2$ och $k=-2$).

Eftersom $\frac{1}{x}$ är en ojämn funktion (d.v.s. att funktionen är den samma för positiva och negativa $x$ förutom att den har ombytt tecken på det negativa intervallet) kan vi ju se att den stämmer in på $ln(|x|)$ eftersom derivatan skulle vara med ombytt tecken när $x <>$.

I alla fall, om du nu vet att absoluttecknena försvinner, vad får du då när du deriverar?

AlvinB skrev:

Okej, tänk så här:

$ln(|x|)$ ger ju samma värden som $ln(x)$ för $x > 0$, och för $x <>$ är grafen speglad i y-axeln. Om grafen är speglad borde ju derivatan vara med ombytt tecken på det intervallet (derivatan med ombytt tecken ger ju samma lutning fast från vänster, pröva några räta linjer med t.ex. $k=2$ och $k=-2$).

Eftersom $\frac{1}{x}$ är en ojämn funktion (d.v.s. att funktionen är den samma för positiva och negativa $x$ förutom att den har ombytt tecken på det negativa intervallet) kan vi ju se att den stämmer in på $ln(|x|)$ eftersom derivatan skulle vara med ombytt tecken när $x <>$.

Aha! Nu är jag med! Minustecknet försvinner inte i ln|x| -jag trodde att grafisk ln(x)=ln|x|. Det visar om punkter är åt höger eller vänster. 

I alla fall, om du nu vet att absoluttecknena försvinner, vad får du då när du deriverar?

 Isf har vi samma derivata med minus tecken :). Tack för hjälpen!

Just det!