Utvidga funktioner
Uppgiften är att se om man kan utvidga en funktion så den blir kontinuerlig i hela R^2.
Jag vet verkligen inte hur mycket man ska förklara för att visa, räcker det med att testa några punkter som jag har gjort? Det känns dock som att jag har missat något och jag undrar hur jag ska visa på ett tillräckligt sätt.
Allmänt, nej, det räcker inte att gränsvärdet är samma längs varje rät linje genom origo. Det finns skumma funktioner som är noll överallt utom längs en spiral som snurrar in mot origo, där den har värdet 1.
Men omvänt, om du hittar två linjer in mot origo med olika gränsvärden så vet du att gränsvärde saknas.
Det räcker inte att bara testa några fall. Gränsvärdet i origo måste vara lika oberoende av vilken väg mot origo man väljer. I övriga punkter är allting klart.
c) f = 1 + 2xy / (x2+y2)
sätt x = rcosv, y = rsinv
f = 1 + [r2 sin(2v)]/ r2 = 1 + sin (2v) som har olika gränsvärden när r går mot 0.
(Men din lösn ok, du har visat att gränsvärdet olika längs olika linjer.)
Prova samma metod på e-uppgiften.
Visa spoiler
e) f = r cos v / e^(1/r) = r cos v / (1 + 1/r + 1/(2r^2) + …)
När r går mot 0 så går täljaren mot 0 och nämnaren mot oändl.
Sätt f(0, 0) = 0.
I din lösning sätter du t till både x2+y2 och x. Du behöver en uppskattning mellan x och ”den andra”.
Mogens skrev:c) f = 1 + 2xy / (x2+y2)
sätt x = rcosv, y = rsinv
f = 1 + [r2 sin(2v)]/ r2 = 1 + sin (2v) som har olika gränsvärden när r går mot 0.
(Men din lösn ok, du har visat att gränsvärdet olika längs olika linjer.)
Prova samma metod på e-uppgiften.
Tack så mycket! Nu förstår jag allt utom varför uttrycket har olika gränsvärden när r går mot 0 för uttrycket är väl oberoende av r och borde då inte påverkas av vad r är?
Om uttrycket oberoende av r så är det konstant längs linjen mot origo. Fast olika konstanter för olika linjer.
Bilden kanske inte ger något för dig, men jag tänker på hur man kan forma en solfjäder.
