utveckling, geometrisk summa

Hej

jag behöver lite hjälp med en uppgift där man ska utveckla den geometriska serien:

$\frac{1}{1 + z^{4}}$

enligt formeln ska man få $\frac{1}{a z + b} = \frac{1}{b} \frac{1}{(1 + (a / b) z)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{a^{n}}{b^{n + 1}} z^{n}$

I detta fall blir ju 1/b=1 eftersom b=1 men vi har ju även bara en z-term så får vi då $\frac{1}{1 + z}$ ?

men jag förstår inte hur man ska göra när man har exponenten 4. Vi har ju att b=1 men vad blir a?

Gör substitutionen $z^4=t$ .

okej då får jag $\frac{1}{1 + t} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{1^{n}}{1^{n + 1}} = - 1^{n} \times 1^{- 1 - n} = - 1$ men sedan måste man ju byta tillbaka till z

K.Ivanovitj skrev:
okej då får jag $\frac{1}{1 + t} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{1^{n}}{1^{n + 1}} = - 1^{n \times 1^{- 1 - n} = - 1}$ men sedan måste man ju byta tillbaka till z

Ja, naturligtvis. Nånting skall inte ändras 1, 2, 3... utan 1, 16, 81... Hur skall du fixa det?

ska man multiplicera med $z^{4}$ i slutet som vi får från formeln ${(- 1)}^{n} \frac{a^{n}}{b^{n + 1}} z^{n}$ så vi får $- 1^{n} \times 1^{- 1 - n} \times z^{n} = - z^{4}$

Kolla om du får det svar du vill ha om du beräknar serien!

Hej!

Den geometriska serien är konvergent endast om $-1 < x=""><>$ och för sådana $x$ gäller det att

$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots .$

Om $x = -z^4$ så blir kravet att $-1 < z=""><>$ och för sådana $z$ gäller det att

$\frac{1}{1+z^4} = 1 + (-z^4) + (-z^4)^2 + (-z^4)^3 + \cdots = 1-z^4 + z^8 - z^{12} + \cdots.$

jag ser att svaret blir $1 - z^{4} + O (z^{6})$ men varför blir resttermen z^6?

K.Ivanovitj skrev:
jag ser att svaret blir $1 - z^{4} + O (z^{6})$ men varför blir resttermen z^6?

Vad betyder $O(z^6)$ för något?

Svara

Visa senaste svar