Utveckling av 1/(t²-1)

I en lösning till en uppgift görs steget

$\int_{e}^{T} \frac{1}{t - \frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t} d t = \frac{1}{2} \int_{e}^{T} (\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1}) d t$

vilket stämmer, eftersom

$\frac{1}{2 (t - 1)} - \frac{1}{2 (t + 1)} = \frac{t + 1}{2 (t^{2} - 1)} - \frac{t - 1}{2 (t^{2} - 1)} = \frac{2}{2 (t^{2} - 1)} = \frac{1}{t^{2} - 1} = \frac{1}{t - \frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t}$

Men hur kommer man fram till det? Om jag hade suttit med det så hade jag tänkt följande:

$\int_{e}^{T} \frac{1}{t - \frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t} d t = \int_{e}^{T} (\frac{1}{t^{2} - 1}) d t = \int_{e}^{T} \frac{1}{t - 1} \cdot \frac{1}{t + 1} d t$

Om jag kollar på stegen jag gjorde när jag kontrollerade ifall det stämde, fast baklänges, så får jag:

$\frac{1}{t - \frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t} = \frac{1}{t^{2} - 1} = \frac{2}{2 (t^{2} - 1)} = \frac{t + 1}{2 (t^{2} - 1)} - \frac{t - 1}{2 (t^{2} - 1)} = \frac{1}{2 (t - 1)} - \frac{1}{2 (t + 1)}$

men för mig känns det ganska orimligt att direkt se att man kan göra denna utveckling för att förenkla integreringen.

Kan de ha kommit fram till det på något annat vis?

Eftersom detta är en lösning på uppgiften så blir jag lite rädd när jag tänker att det förväntas av mig att jag ska kunna se att en sådan utveckling bör göras. För det gör jag helt enkelt inte.

Har ni gått igenom partialbråksuppdelning? Det innebär att man kan dela upp en faktoriserad nämnare på separata bråkstreck. Vad man får i täljaren får man sen kontrollera genom att matcha koefficienter.

Har ni inte gått igenom partialbråksuppdelning får man istället vara lite klurig och (efter att man faktoriserat nämnaren med konjugatregeln) skriva om täljaren med 1=2/2=(1+t+1-t)/2 för att sedan kunna skriva på separata bråkstreck.

Hej!

Ja, de kom fram till det på ett annat vis:

$\frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1}\ ,$

där det gäller att bestämma konstanterna $A$ och $B$ ; detta kallas partialbråksuppdelning.

Med den så kallade Handpåläggningsmetoden bestämmer man snabbt $A$ och $B$ :

Multiplicera likheten med $(t-1).$
Förenkla bråken.
Sätt in $t=1$ .
Likhetens vänsterled blir $0.5$ och likhetens högerled blir $A.$

För att bestämma talet $B$ gör man samma sak.

Multiplicera likheten med $(t+1).$
Förenkla bråken.
Sätt in $t=-1.$
Likhetens vänsterled blir $-0.5$ och likhetens högerled blir $B.$

Dessa steg gör man i huvudet, men jag skrev ner dem så att du ska kunna se vad som händer.

Albiki

Svara