Utvärderingssteg i integralberäkning

Dani163 skrev:

Jag arbetar för närvarande med ett integralproblem och känner mig lite förvirrad över den generella logiken bakom vissa steg i utvärderingen. Integralen i fråga är:

$<br />\int_{\pi / 2}^\pi e^{-\sqrt{t}} \cos t \, dt<br />$

Uppgifter:

1. Ange intervallet för vilket F är växande eller avtagande.
2. Avgör om F har något största och minsta värde. Bestäm i så fall i vilka punkter dessa värden antas.

Frågor:

1. Varför undersöker vi om integranden är större eller mindre än 0 inom ett visst intervall? Vad är betydelsen av att bestämma tecknet på integranden över integrationsintervallet?

2. Varför kan inte $t$ vara $\pi/2$? Det verkar finnas en underförstådd antagande eller regel här som jag inte helt fått en grepp om. Hur påverkar värdet av $t = \pi/2$ integrationsprocessen eller integranden själv?
3. I del 2, varför antas det att det finns ett maximalt värde när $x = \pi/2$? Jag är osäker på resonemanget eller principen som leder till denna antagelse om funktionens beteende vid $x = \pi/2$.

Kan någon hjälpa till att klargöra dessa punkter? Jag är angelägen om att förstå inte bara hur man löser detta specifika problem, men också få bättre greppa om de bredare matematiska resonemangen som informerar dessa typer av uträkningar.

Vi kan ju börja med att rita upp funktionen $y=e^{-\sqrt{t}\cos \left(t\right)}$. När vi integrerar något som är större än 0 så blir arean under kurvan större ju längre man går åt höger. Det innebär att F(x) är växande så länge y(t) är positiv. Motsvarande resonemänag gäller om y(t) är negativ.

Edit: Som jag har förstått det så behöver man derivera funktionen, och sedan hitta intervallen där funktionen är avtagande eller växande. Då rekommenderas jag att använda "Leibniz Integral Rule", och undersöka vart just $\cos(t)$ är positiv/negativ, eftersom exponentiella delen är alltid > 0.

Smaragdalena skrev:

När vi integrerar något som är större än 0 så blir arean under kurvan större ju längre man går åt höger.

Om du menar att integranden är växande för positiva x så håller jag med dig, men här var problemet hur man ska kunna veta utan att använda verktyg som t.ex. Desmos på en tenta, vilka metod finns det?

Motsvarande resonemänag gäller om y(t) är negativ.

Att y(t) blir negativ när F(t) är avtagande?

För övrigt har jag än inte förstått resonemanget kring hur de kom fram till att t ≠ π/2, varför gränserna förändras, varför vi ändrar ifrån t till x, och varför integralen blir negativ.

Om du menar att integranden är växande för positiva x så håller jag med dig, men här var problemet hur man ska kunna veta utan att använda verktyg som t.ex. Desmos på en tenta, vilka metod finns det?

Exponentialfunktionen ä rpositiv för alla värden på t, cosinusfunktionen byter tecken vid pi/2.

En sak jag har fastnat på är förklaringen här.

1. Varför behövde man utföra variabelbytet x = π-t

2. Vad hände med integralgränsen π/2 här?

$\int_{\pi / 2}^\pi e^{-\sqrt{t}} \cos t d t=-\int_0^{\pi / 2} e^{-\sqrt{\pi-x}} \cos x d x$

3. Hur kommer de fram till detta (och varför undersöks F(π)?):

$F(\pi)=\int_0^{\pi / 2}\left(e^{-\sqrt{t}}-e^{-\sqrt{\pi-t}}\right) \cos d t>\int_0^{\pi / 2}\left(e^{-\sqrt{t}}-e^{-\sqrt{\pi / 2}}\right) \cos d t>0 .$

Eftersom $F(0)=0$ följer det att minsta värde antas då $x=0$.

#1.

Det är ett trick. Det är långt ifrån självklart att man skall välja denna metod.

#2.

Då t=π-x blir gränserna π/2 resp. 0

#3.

Om man gör var.bytet t=π-x blir gränserna π/2 resp. 0 samt att dt=-dx vilket gör att man kan vända på gränserna igen till 0 resp. π/2. Det minus som återstår kommer från cos(π-t)=-cos(t).