Uttrycka radie?
En vattentank har formen av en kon med spetsen nedåt och basytan horisontell. Tankens basradie är 2,6dm och höjden 5,2dm. Vatten pumpas in i tanken med hastigheten 2,6dm3/min.
Hur snabbt stiger vattenivån när vattendjupet är 3,9dm?
dv/dt = dv/dr x dr/dt
dv/dt = 2,6dm3/min och man vill ha dr/dt.
Volymen för en kon är pi(r2)h/3 , hur kommer det sig att man kan uttrycka radien som h/2?
Boken har nog en väldigt krånglig lösning. Jag tänker så här:
Radien är halva höjden, dvs 1,95 dm.
Då är vattenytans area pi*1,952 dm2 (= A säg)
En cylinder med volymen 2,6 liter och basarea A har höjd 2,6/A.
Så nivån stiger 2,6/A dm/min.
Jag förstår bokens lösning, men jag fattar bara inte hur det kommer sig att man ansätter att r= h/2?
Varför och hur är halva höjden lika med radien?
Hela tanken har r=h/2 (5,2 resp 2,6) så pga likformighet blir det samma för alla delkoner med horisontell yta.
Hur menar du?
Om du ser konen från sidan så ser du en likbent triangel. Vattenytan är horisontell.
Tack, Marilyn!
Och detta gäller alla kon(er), om jag förstår farfarMats rätt?
Vanligen menar man med kon en rät cirkulär kon.
Allmänt fås en kon genom att du utgår från en sluten kurva i ett plan. Man väljer en punkt P utanför planet och drar en linje från P till varje punkt på kurvan. Dessa linjer bildar konens mandelyta.
Om P inte är ”rakt” över kurvans centrum fås en sned kon, om kurvan inte är en cirkel så kan konen vara t ex elliptisk. Men oavsett så är kurvan likformig med den som fås om konen skärs med ett plan som är parallellt med ursprungsplanet, och trianglar motsvarande dem i min figur kommer vara likformiga med varandra.
Det hör inte hit, men om du utgår från en rät cirkulär kon och skär den i olika vinklar så kan du få en cirkel, en ellips, en parabel eller en hyperbel. Det är intressant matematik, googla kägelsnitt eller conic sections.
Hur kan man se detta samband mellan radie och höjd utan mått, rent generellt?
Kanske intuitivt enklare om vi har spetsen upp.
Rita en sluten kurva på ett horisontellt papper. Välj en punkt P över pappret. Drag två linjer, en från P till någon punkt O på kurvan och en lodrätt till M på pappret. Då är PM triangelns (och konens) höjd. Skär du triangeln med en horisontell linje, så får du en topptriangel. Om topptriangelns höjd är x procent av stora triangelns höjd så är basen x procent av stora triangelns bas.
