Uttryck i radian

Skriv ut dina x för några olika värden på n. Så blir det kanske uppenbart. 

Bubo skrev:

Skriv ut dina x för några olika värden på n. Så blir det kanske uppenbart. 

Hur menar du? Alltså  att jag ska sätta in olika n i detta uttryck --> ± π/2 + 2πn ?

Jag förstår att det kan bli ±90⁰ men inte varför man inte uttrycker 270⁰ också, men det kanske är samma sak som ±90⁰ och dessutom svårare sätt att skriva 270⁰ i radianer utan miniräknare, nu när jag tänker efter?

Det bubo försöker få dig att komma till är, vad blir -pi/2 + 2pi*n uttryckt i grader, speciellt när n=1?

naturnatur1 skrev:

Jag förstår att det kan bli ±90⁰ men inte varför man inte uttrycker 270⁰ också, men det kanske är samma sak som ±90⁰

Nej 270° är inte samma sak som -90°.

Däremot så är cosinusvärdet för 270° lika stort som det för -90°.

och dessutom svårare sätt att skriva 270⁰ i radianer utan miniräknare, nu när jag tänker efter?

Nej, det går utmärkt. 270° är lika med 3pi/4 radianer.

========

Viktigt: Eftersom cosinusfunktionen är periodisk med perioden 360° (dvs cos(x) = cos(x+360°)) så har ekvationen cos(x) = a oändligt många lösningar (om -1 $\leq$ a $\leq$ 1). Säg till om du har frågor kring det.

=========

Tillbaka till uppgiften.

Lösningarna till ekvationen $cos(x)=0$ kan skrivas på många olika sätt, bland andra

• $x=\pm90^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$
• $x=90^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$
• $x_1=90^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$, $x_2=270^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$

Övertyga dig om att dessa tre beskrivningar ger exakt samma värden på $x$.

Fråga gärna om du vill få något av detta bättre förklarat.

Hondel skrev:

Det bubo försöker få dig att komma till är, vad blir -pi/2 + 2pi*n uttryckt i grader, speciellt när n=1?

-90⁰ +360⁰ = 270⁰

Yngve skrev:

naturnatur1 skrev:

Jag förstår att det kan bli ±90⁰ men inte varför man inte uttrycker 270⁰ också, men det kanske är samma sak som ±90⁰

Nej 270° är inte samma sak som -90°.

Däremot så är cosinusvärdet för 270° lika stort som det för -90°.

Oj ja, jag uttryckte det lite fel.

och dessutom svårare sätt att skriva 270⁰ i radianer utan miniräknare, nu när jag tänker efter?

Nej, det går utmärkt. 270° är lika med 3pi/4 radianer.

Hur får man fram det utan miniräknare och formelblad?

========

Viktigt: Eftersom cosinusfunktionen är periodisk med perioden 360° (dvs cos(x) = cos(x+360°)) så har ekvationen cos(x) = a oändligt många lösningar (om -1 $\leq$ a $\leq$ 1). Säg till om du har frågor kring det.

Jag är med på detta, men inte varför du poängterar detta, är det något jag ska ha i åtanke här vid sånna "resonemang"? (Ifrågasätter inte dig, det är bara för att lära mig, och uppskattar ditt utförliga svar!!)

=========

Tillbaka till uppgiften.

Lösningarna till ekvationen $cos(x)=0$ kan skrivas på många olika sätt, bland andra

• $x=\pm90^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$
• $x=90^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$
• $x_1=90^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$, $x_2=270^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$

Övertyga dig om att dessa tre beskrivningar ger exakt samma värden på $x$.

Fråga gärna om du vill få något av detta bättre förklarat.

Första punkten är jag med på. Men inte andra och tredje,

--

Punkt 2 - varför blev perioden 180⁰ och hur kom du fram till det?

Punkt 3 - hur kom du fram till detta? Är det genom kunskapen av cosinusvärdet? Inget ± här?

Varför lägger du tre timmar på frågor, i stället för fem minuter på att göra enligt mitt förslag?

Bubo skrev:

Varför lägger du tre timmar på frågor, i stället för fem minuter på att göra enligt mitt förslag?

För att jag var osäker på vad du menade. Jag skrev ju sedan 

Hur menar du? Alltså att jag ska sätta in olika n i detta uttryck --> ± π/2 + 2πn ?

Och fick sedan bekräftelse av Hondel, och gjorde sedan det, som du kanske kan se om du skrollar upp. Men det sa mig inte så mycket, just då. Jag frågar eftersom det är så jag lär mig, pluggar det här på egen hand innan inför skolan så det är nytt för mig nu .

naturnatur1 skrev:

Hur får man fram det utan miniräknare och formelblad?

Generell omvandling från grader till radianer:

360 grader = 2pi radianer

Dividera båda sidor med 360:

1 grad = 2pi/360 radianer = pi/180 radianer

Multiplicera båda sidor med 270:

270 grader = 270•pi/360 radianer

Förkorta högerledet med 90:

270 grader = 3pi/4 radianer.

Fast snabbare i det här fallet är att veta att 90° = pi/2 radianer och sedan multiplicera båda sidor med 3.

Generell omvanling från radianer till grader:

2pi radianer = 360 grader

Dividera båda sidor med 2pi:

1 radian = 360/2pi grader = 180/pi grader.

Multiplicera båda sidor med det antal radianer du vill omvandla till grader.

Jag är med på detta, men inte varför du poängterar detta, är det något jag ska ha i åtanke här vid sånna "resonemang"? (Ifrågasätter inte dig, det är bara för att lära mig, och uppskattar ditt utförliga svar!!)

Jag blev bara osäker på om du hade det klart för dig.

Första punkten är jag med på. Men inte andra och tredje,

--

Punkt 2 - varför blev perioden 180⁰ och hur kom du fram till det?

Punkt 3 - hur kom du fram till detta? Är det genom kunskapen av cosinusvärdet? Inget ± här?

Du får nog svar på båda dina frågor om du följer Bubos tips:

• Första beskrivningen: Skriv ner de x-värden du får då n = 0, n = 1 och n = 2. Skriv dessa 6 x-värden i storleksordning.
• Andra beskrivningen: Skriv ner de x-värden du får då n = -1, n = 0, n = 1, n = 2, n = 3  och n = 4. Skriv dessa 6 x-värden i storleksordning.
• Tredje beskrivningen: Skriv ner de x₁-värden du får då n = 0, n = 1, n = 2 och de x₂-värden du får då n = -1, n = 0 och n = 1. Skriv dessa 6 x-värden i storleksordning.

Jämför de tre listorna.

====

Ett annat sätt är att pricka in vinklarna från de tre lösningsmängderna med olika färger i en enhetscirkel.

Yngve skrev:

Första punkten är jag med på. Men inte andra och tredje,

--

Punkt 2 - varför blev perioden 180⁰ och hur kom du fram till det?

Punkt 3 - hur kom du fram till detta? Är det genom kunskapen av cosinusvärdet? Inget ± här?

Du får nog svar på båda dina frågor om du följer Bubos tips:

• Första beskrivningen: Skriv ner de x-värden du får då n = 0, n = 1 och n = 2. Skriv dessa 6 x-värden i storleksordning.
• Andra beskrivningen: Skriv ner de x-värden du får då n = -1, n = 0, n = 1, n = 2, n = 3  och n = 4. Skriv dessa 6 x-värden i storleksordning.
• Tredje beskrivningen: Skriv ner de x₁-värden du får då n = 0, n = 1, n = 2 och de x₂-värden du får då n = -1, n = 0 och n = 1. Skriv dessa 6 x-värden i storleksordning.

Jämför de tre listorna.

====

Ett annat sätt är att pricka in vinklarna från de tre lösningsmängderna med olika färger i en enhetscirkel.

Tack. Jag vill inte vara sådan men jag förstår inte vad det kommer hjälpa med att sätta in olika n? (Mer än att få reda på vilka vinklar som ger samma värde)

Det "egentliga problemet" (för mig) nu är nog hur man kommer fram till de uttrycken (2 och 3), jag ska kika vidare på det och återkomma om något blir oklart. Uppskattar hjälpen

naturnatur1 skrev:

Tack. Jag vill inte vara sådan men jag förstår inte vad det kommer hjälpa med att sätta in olika n? (Mer än att få reda på vilka vinklar som ger samma värde)

Meningen var att visa att de tre olika beskrivningarna ger exakt samma vinklar.

Det "egentliga problemet" (för mig) nu är nog hur man kommer fram till de uttrycken (2 och 3), jag ska kika vidare på det och återkomma om något blir oklart. Uppskattar hjälpen

OK. Tips: Börja då med att markera vinklarna I enhetscirkeln. 

Uttryck 2: Första vinkeln (klockan 12) är 90°. Nästa vinkel (klockan 6) är 180° större än första vinkeln. Nästa vinkel (klockan 12 igen) är 180° större än andra vinkeln. Och så vidare. Alltså x = 90°+n•180°.

Uttryck 3: Första vinkeln (klockan 12) är 90°. Om du adderar 360° får du nästa "klockan 12"-vinkel. Och så vidare. Alltså x₁ = 90°+n•360°. Andra vinkeln (klockan 6) är 180°. Om du adderar 360° till denna får du Nästa "klockan 6"-vinkel. Och så vidare. Alltså x₂ = 270°+n•360°.

Tillägg: 15 aug 2023 08:47

Jag skrev fel vid uttryck 3, där skulle det stå "Andra vinkeln (klockan 6) är 270° ..."

Yngve skrev:

naturnatur1 skrev:

Tack. Jag vill inte vara sådan men jag förstår inte vad det kommer hjälpa med att sätta in olika n? (Mer än att få reda på vilka vinklar som ger samma värde)

Meningen var att visa att de tre olika beskrivningarna ger exakt samma vinklar.

Det "egentliga problemet" (för mig) nu är nog hur man kommer fram till de uttrycken (2 och 3), jag ska kika vidare på det och återkomma om något blir oklart. Uppskattar hjälpen

OK. Tips: Börja då med att markera vinklarna I enhetscirkeln. 

Uttryck 2: Första vinkeln (klockan 12) är 90°. Nästa vinkel (klockan 6) är 180° större än första vinkeln. Nästa vinkel (klockan 12 igen) är 180° större än andra vinkeln. Och så vidare. Alltså x = 90°+n•180°.

Uttryck 3: Första vinkeln (klockan 12) är 90°. Om du adderar 360° får du nästa "klockan 12"-vinkel. Och så vidare. Alltså x₁ = 90°+n•360°. Andra vinkeln (klockan 6) är 180°. Om du adderar 360° till denna får du Nästa "klockan 6"-vinkel. Och så vidare. Alltså x₂ = 270°+n•360°.

Tack så jättemycket!