Uttryck för antalet tändstickor

Vad fick du för svar på  2525 a) ?

Arktos skrev:

Vad fick du för svar på  2525 a) ?

2n^2+2n

Så, ja..

Jag har läst B flera gånger nu och jag fattar inte vad dom är ute efter. 

Om vi kallar talföljden i  a)   för   a₁   a₂ ... a_n

och den i  b) för   b₁  b₂  ...  b_n 

kan vi då se något samband mellan   a-serien  och b-serien?

Tillägg: 22 feb 2023 18:39

Skrev fel först så et blev exponenter i st f index! Nu rättat

..Jag förstår inte vad du menar.

Jag skrev fel först!
Du läste nog mitt inlägg innan jag hade rättat det.
Försök igen nu.

Kolla noga vad det står i texten

Tyvärr, jag förstod inte ändå…

Talföljden i det här fallet antar jag är: 4,12,24 för a.

För b är det 12,24,40

Sambandet är att båda följer samma mönster men att b startar på ett värde 4 gånger större än a…

Förlåt, 3 gånger större naturligtvis.

Precis!
b₁ = a₂ ,  b₂ = a₃   etc 

så  b_n (som söks) blir lika med  a_?

Uhm, an+1?

bn = an+1

Det är vad dom vill veta? Min läsförståelse måste vara fruktansvärd. 
 
Men vad är i så fall 2^n2+6n+4

Visst!
b(n) = a(n-1)     [går fortare att skria så än med indexsiffror]   Fel! ska vara a(n+1)

Och du vet att a(n) = 2n^2+2n = 2n(n + 1)
Vad är då   a(n-1)  ?   Fel! ska vara a(n+1)

Tillägg: 22 feb 2023 19:14

Nu skrev jag fel igen!
b(n) = a(n+1)  ska det vara, eller med indexsiffror:  b_n = a_n+1

Jag tycker det är enormt svårt… :(

Ehm, jag vet inte. Vad representerar + 1?

b är ju =a+1…

Så om a är 2n^2+2n så måste det betyda i det här fallet att B är samma sak + 4*n? Jag ser att det stegrar med 8,12,16, så.. nej 1 följer inte den logiken. B är a + någonting. Hm B är a+(b-a)

så 2n^2+2n+(2n^2+2n-…!)

nej, jag grejar det inte

Asch, du på helt rätt väg.
Det är alla dessa beteckningar som krånglar till det
Eller rättare sagt blandningen mellan  index  och funktionsbeteckningar.

Åter till  den senaste slutsatsen:

Vi har funnit att  [andra talet i a-serien] är lika med [första talet i b-serien],
dvs  [första talet i b-serien] = [andra talet i a-serien]   etc,  så att
        [tal #k i b-serien]  = [tal #(k+1) i a-serien]

Jo…

Men jag vet inte hur jag ska representera det.

Man måste ju veta på vilket sätt b är en funktion av a. Stoppar man in något i a så är svaret.. b=nästa svar i a.  Hm Okej. Hur skriver jag det algebraiskt.

nej det står totalt stilla 

tal #n i a-serien är lika med  2n(n + 1)
Vad är då tal #(n+1) i a-serien?
(ersätt varje   n   i formeln  med  (n+1).

Vad får du då?

Arktos skrev:

tal #n i a-serien är lika med  2n(n + 1)
Vad är då tal #(n+1) i a-serien?
(ersätt varje   n   i formeln  med  (n+1).

Vad får du då?

2n(n+1)(n+1+1) = 2n^2+2n(n+2)

= 2n^2+2n^2+4n

Det är för hög nivå för mig, jag kan fortfarande inte ens tolka frågan. Förstår inte att det är det här dom frågar efter alls.

Nästan helt rätt!

Det kom med ett  n  för mycket i början.

Formeln är  2n(n + 1)
Ersätter vi  varje  n  med  (n+1)  så blir det

2(n+1)((n+1) + 1) = 2(n+1)(n+2)

Vad blir det om man utvecklar uttrycket?

Arktos skrev:

Nästan helt rätt!

Det kom med ett  n  för mycket i början.

Formeln är  2n(n + 1)
Ersätter vi  varje  n  med  (n+1)  så blir det

2(n+1)((n+1) + 1) = 2(n+1)(n+2)

Vad blir det om man utvecklar uttrycket?

Jo… missade det.

Det blir (n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2

sedan 2*n^2

2n^2+3n+2 stämmer inte.

Du, tack så mycket för hjälpen. Men jag är inte smart nog för det här, jag förstår inte vad vi gör för någonting och jag förstår fortfarande inte ens vad dom vill veta. 

Dkcre skrev:

Det blir (n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2

sedan 2*n^2

2n^2+3n+2 stämmer inte

Dt stämmer nog...  om man räknar rätt  :-)

Det behövs ingen extra   " sedan 2*n^2"
Hela uttrycket ovan   

    (n+1)(n+2) = n^2+2n+n+2 = n^2 + 3n + 2

ska multipliceras med  2  och det ger ....

Du har kämpat väl!
Låt oss reda ut uppgiften senare.

Tack.

Men när man har multiplicerat paranteserna med varandra försvinner dom ju ? Då står 2an enbart framför n^2? Annars måste man väl ställa upp det, typ, 2((n+1)(n+2))?

Okej så tvåan multipliceras in först i första parantesen utan att den försvinner, sedan räknas paranteserna. Kände inte till den regeln.

(2n+2)(n+2)

2n^2+4n+2n+4

2n^2+6n+4.

Men vad är det dom frågar efter nu då? Jag kan faktiskt inte utläsa vad dom vill veta för någonting. Frågan ska alltså översättas till: om vi säger att figur 2 istället är den första figuren i en talföljd b som vi jämför direkt med en talföljd a som utgår ifrån fråga a) skriv då ett algebraiskt uttryck för hur talföljd b är en funktion av talföljd a?

Bra, nu är du i mål!

Du har härlett ett uttryck för [tal #n] i den nya serien,
efter att ha visat att det är lika med  [tal #(n+1)] i den gamla serien.
För talen i den gamla serien hade du redan ett allmänt uttryck.
Med hjälp av det får du fram ett uttryck för tal #(n+1),
och då är saken klar.

Det var en snabbrepetion av den lösningsgång vi har följt.

Svårigheterna är dels språkliga – att tolka uppgift b  –  och dels algebraiska,
dvs att översätta fynden till algebraiska uttryck, som man sedan kan hantera.
Vitsen med detta är att man då lugnt kan låta algebran ha sin gång.
Här finns för tillfället inget att "förstå". Bara vi följer de algebraiska reglerna,
så blir resultatet logiskt korrekt. Algebran blir vår slutledningsmaskin!

Sedan är det dags att tolka resultatet, slutledningen, i uppgiftens termer:
"Se här – detta är ett uttryck för [tal #n] i den nya serien."

Häftigt!

---------------
och den ursprungliga formeln är faktiskt  2(n+1)(n+2) , se inlägg #17 .

Ni som är duktiga på matte är fantastiska, jag vill också vara det. Jag förstår fortfarande inte vad vi har gjort riktigt, men jag kanske kan greppa det mer imorgon. Tack.

Eller, jag förstår konceptuellt vad vi har gjort. Jag kan bara inte greppa det och se det som en självklarhet än…

Får jag föreslå ett lite annat sätt att se på det hela eller snarare uttrycka det.

I a) stämmer figurens nummer med antalet stickor i varje rad och i varje kolumn. *)
Så har du i figur 3 3 stycken stickor längst ner.

I b) med nya nummer på figurerna heter den figuren nu figur 2.
Det är fortfarande 3 stickor längst ner, dvs 2+1, figurens nummer + 1, n+1 i stället för n.
I formeln 2n(n+1) från a) ska du alltså byta n mot n+1: 2(n+1)(n+1+1).

Om uppgiften bara hade haft den numreringen av figurerna hade du fått tänka:
Får se nu: det är figurens nummer + 2 stycken rader och i varje rad är det numret + 1 stycken stickor,
alltså (n+1)(n+2) stycken. Lika många stående stickor, totalt 2(n+1)(n+2). Det hade inte varit svårare.

*)
Du har n+1 rader (liggande stickor) med n stickor i varje = n(n+1).
Du har n+1 kolumner (stående stickor) med n stickor i varje = n(n+1).
Summa 2n(n+1).

Så elegant!
En geometrisk lösning direkt knuten till figurerna.

Jag tänkte inte ens åt det hållet, eftersom jag utgick från den färdiga formeln från a).
Därför blev det algebra rakt igenom.

Fler förslag till lösningsgång?

Vi får fråga Dkcre hur den färdiga formeln från a) kom till.

Ska läsa ditt svar mer ingående senare idag Louis. Men angående hur jag kom fram till svaret på fråga a) så försökte jag se samband och först förklara hur många det är runt om, och sedan hitta någon logik för antalet inuti figuren. Men jag lyckades inte hitta någonting den vägen som blev korrekt för alla tre figurer.

Så det slutade med att jag forcerade en lösning bara. Räknade 4,12,24 sedan tänkte jag okej, hur skriver jag ett uttryck som utgår ifrån figurens nummer som tillfredsställer alla 3, prövade mig fram tills det gick ihop. Så jag rädd för att jag inte utgick efter någon förståelse utan mer ramlade över svaret.

Vet inte om jag förstår varför formeln fungerar nu heller. 

Arktos skrev:

Så elegant!
En geometrisk lösning direkt knuten till figurerna.

Jag tänkte inte ens åt det hållet, eftersom jag utgick från den färdiga formeln från a).
Därför blev det algebra rakt igenom.

Fler förslag till lösningsgång?

Här är ett annat;

(n, number of sticks)

(1, 12) note 12 = 3x4

(2, 24) note 24 = 4x6

(3, 40) note 40 = 5x8

[n, (n+2)(2n+2)]