Uttryck (4tan^2(x))/(1-cosx) endast i cosx

dupaichujmamtogdzies skrev:

Jag har ett uttryck $\frac{4{\tan }^{2}x}{1-\cos x}$som ska uttryckas endast i cosx. 
Min första tanke är att använda faktumet att  $1+ {\tan }^{2}x = \frac{1}{{\cos }^{2}x}$ och få den ursprungliga ekvationen att bli till:  $\frac{4\left({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1\right)}{1-\cos x}$

För att få in "-1" till täljaren multiplicerar jag den med nämnaren cos^2x.

så då har du $\frac{4\left({\displaystyle \frac{1-{\cos }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}}\right)}{1-\cos \left(x\right)}$

Och enligt kvadreringsregeln vet jag att $1-{\cos }^{2}x = \left(1-\cos x\right)(1+\cos x)$

För att bli av med många bråk så inverterar jag bråket samt får in 4an i parentesen:  $\frac{\left(4\right(1-\cos x\left)\right)(4+4\cos x)}{4{\cos }^{2}x(1-\cos x)}$

Varför alla dessa fyror?

Där jag utelämnade 4 i 1-cosx för enkelhetens skull. Eftersom 1-cosx tar ut varandra så kvar blir: $\frac{4(4+4\cos x)}{4{\cos }^{2}x} = \frac{(4+4\cos x)}{{\cos }^{2}x}$och 4 tar också ut varandra. 

Om mina steg var korrekt kan jag förenkla uttrycket ännu mer? 

Tack på förhand. 

Bryt ut fyran.

Jag skulle ha gjort så här:

$$\begin{gathered} \frac{4{\tan }^{2}x}{1-\cos x} = \frac{4{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}}{1-\cos x} =\hspace{0.17em}\frac{4{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x(1-\cos x)} =\hspace{0.17em}\frac{4(1-{\cos }^{2}x)}{{\cos }^{2}x(1-\cos x)} =\hspace{0.17em} \\ =\frac{4(1+\cos x)(1-\cos x)}{{\cos }^{2}x(1-\cos x)} =\hspace{0.17em}\frac{4(1+\cos x)}{{\cos }^{2}x} \end{gathered}$$

vilket ger samma uttryck som ditt. Att vi har kommit fram till samma svar på två oika sätt tyder p att vi har gjort rätt.