Utsaga

Stämmer inte detta samband för alla tal, även komplexa tal?

Jag tror nu har jag fått aha-upplevelsen! 

Om man kan diskutera kring vilka tal som stämmer i ett påstående, vare sig det blir sant eller falskt, så är utsagan en öppen utsaga. Vad tror ni? Stämmer det?

Öppen utsaga

Marx skrev:

det är en utsaga eftersom det kan uttryckas som: om ${(x+1)}^2$ då $x^2+2x+1$

Det där är dock inte en utsaga. :) Formeln i uppgiften är en likhet, vilket inte kan tolkas som en implikation—och vare sig "om (x+1)^2" eller "då x^2 + 2x + 1" betyder något. Både '(x+1)^2' och 'x^2 + 2x + 1' är så att säga namn på element, så det är som att säga "om Maria då Stefan". I en implikation så måste både det första och det andra vara fullständiga påståenden som kan vara sanna eller falska vilket t.ex. (x+1)^2 inte är eller kan.

Att formeln är öppen betyder bara att den har fria/obundna variabler. Hade det stått t.ex. ∀x((x+1)^2=x^2+2x+1)) så hade den varit sluten. När en formel är öppen så är den inte riktigt tydlig eftersom den kan betyda olika saker beroende på vilken kvantifikator vi sätter framför den. Om vi t.ex. har y=3 så kan det i princip tolkas både som $\exists y(y=3)$ (vilket är sant) och som $\forall y(y=3)$ (vilket är falskt). Men notera att det viktiga inte är om formeln faktiskt får olika sanningsvärden beroende på vilken kvantifikator vi väljer—det räcker att det finns fria variabler för att formeln ska kallas öppen, för då är den så att säga inte "färdigtolkad" och gör därför inget entydigt påstående.

Står det i facit att det är en utsaga? Öppna satser brukar i min erfarenhet inte betraktas som utsagor eftersom de inte har bestämda sanningsvärden.

Russell skrev:

Marx skrev:

det är en utsaga eftersom det kan uttryckas som: om ${(x+1)}^2$ då $x^2+2x+1$

Det där är dock inte en utsaga. :) Formeln i uppgiften är en likhet, vilket inte kan tolkas som en implikation—och vare sig "om (x+1)^2" eller "då x^2 + 2x + 1" betyder något. Både '(x+1)^2' och 'x^2 + 2x + 1' är så att säga namn på element, så det är som att säga "om Maria då Stefan". I en implikation så måste både det första och det andra vara fullständiga påståenden som kan vara sanna eller falska vilket t.ex. (x+1)^2 inte är eller kan.

---

Att formeln är öppen betyder bara att den har fria/obundna variabler. Hade det stått t.ex. ∀x((x+1)^2=x^2+2x+1)) så hade den varit sluten. När en formel är öppen så är den inte riktigt tydlig eftersom den kan betyda olika saker beroende på vilken kvantifikator vi sätter framför den. Om vi t.ex. har y=3 så kan det i princip tolkas både som $\exists y(y=3)$ (vilket är sant) och som $\forall y(y=3)$ (vilket är falskt). Men notera att det viktiga inte är om formeln faktiskt får olika sanningsvärden beroende på vilken kvantifikator vi väljer—det räcker att det finns fria variabler för att formeln ska kallas öppen, för då är den så att säga inte "färdigtolkad" och gör därför inget entydigt påstående.

Står det i facit att det är en utsaga? Öppna satser brukar i min erfarenhet inte betraktas som utsagor eftersom de inte har bestämda sanningsvärden.

Boken är Vretblad, A., & Ekstig, K. (2006). Algebra och geometri (2 uppl.). Malmö: Gleerup. ISBN: 9140647579

I boken står t.ex. att $x^2+y^2=r^2$ är en öppen utsaga vars sanningsvärde beror på värdena hos vissa variabler.

Ja, i facit står det att det är en öppen utsaga.

Marx skrev:

Ja, i facit står det att det är en öppen utsaga.

Okej! Jag tror som sagt att det är vanligare att man inte kallar öppna formler för utsagor. Tanken är då att en utsaga måste påstå att något specifikt är sant vilket öppna formler inte gör eftersom de kan ha olika sanningsvärden beroende på tolkning. Men det kan säkert variera lite mellan olika författare.

Russell skrev:

Marx skrev:

Ja, i facit står det att det är en öppen utsaga.

Okej! Jag tror som sagt att det är vanligare att man inte kallar öppna formler för utsagor. Tanken är då att en utsaga måste påstå att något specifikt är sant vilket öppna formler inte gör eftersom de kan ha olika sanningsvärden beroende på tolkning. Men det kan säkert variera lite mellan olika författare.

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Open_Statement

På den här sidan defineras både öppen och sluten utsaga som den i boken. Det står dessutom att en formel är en öppen utsaga i och med att det inte går att fastställa sanningsvärdet.

Marx skrev:

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Open_Statement

På den här sidan defineras både öppen och sluten utsaga som den i boken. Det står dessutom att en formel är en öppen utsaga i och med att det inte går att fastställa sanningsvärdet.

Proofwiki är dock lite inkonsistent i sina definitioner. De skriver dels att 'statement' är "a sentence that has objective and logical meaning" men även att en välformad formel är en sentence om och endast om den inte har några fria variabler. Trots att de använder "open statement" så verkar det alltså vara en självmotsägelse enligt deras egna definitioner.

Jag skrev som om 'utsaga' var synonymt med 'påstående' och det kan dock ha varit lite förhastat. Jag antar att man kan använda 'utsaga' som ett bredare begrepp, där påståenden är slutna sådana medan andra är öppna. Det verkar dock göra 'utsaga' synonymt med välformad formel vilket inte heller stämmer överens med hur många matematiker använder ordet. Många skriver att utsagor måste vara sanna eller falska (vilket dessutom bara gäller i klassisk logik), och det brukar man inte säga att öppna formler är.
Jag skulle gissa att det helt enkelt inte finns någon riktig konsensus om precis hur orden ska användas och att olika författare därför använder dem en aning olika. Speciellt inom matematiken så håller folk heller inte alltid isär t.ex. påstående eller satser och propositioner medan många logiker/filosofer skulle hävda att propositioner är vad påståenden eller satser uttrycker (och det är propositionerna som är sanna eller falska, inte satserna).

Men hur som helst så tror jag det är bäst att du tänker på det på samma sätt som din bok/lärare gör. Om den använder "öppen utsaga" så tycker jag att du också ska göra det. Eventuella snåriga semantiska debatter kan man alltid sätta sig in i senare om man har lust. :)

Russell

Proofwiki är dock lite inkonsistent i sina definitioner. De skriver dels att 'statement' är "a sentence that has objective and logical meaning" men även att en välformad formel är en sentence om och endast om den inte har några fria variabler. Trots att de använder "open statement" så verkar det alltså vara en självmotsägelse enligt deras egna definitioner.

Jag skrev som om 'utsaga' var synonymt med 'påstående' och det kan dock ha varit lite förhastat. Jag antar att man kan använda 'utsaga' som ett bredare begrepp, där påståenden är slutna sådana medan andra är öppna. Det verkar dock göra 'utsaga' synonymt med välformad formel vilket inte heller stämmer överens med hur många matematiker använder ordet. Många skriver att utsagor måste vara sanna eller falska (vilket dessutom bara gäller i klassisk logik), och det brukar man inte säga att öppna formler är.
Jag skulle gissa att det helt enkelt inte finns någon riktig konsensus om precis hur orden ska användas och att olika författare därför använder dem en aning olika. Speciellt inom matematiken så håller folk heller inte alltid isär t.ex. påstående eller satser och propositioner medan många logiker/filosofer skulle hävda att propositioner är vad påståenden eller satser uttrycker (och det är propositionerna som är sanna eller falska, inte satserna).

Men hur som helst så tror jag det är bäst att du tänker på det på samma sätt som din bok/lärare gör. Om den använder "öppen utsaga" så tycker jag att du också ska göra det. Eventuella snåriga semantiska debatter kan man alltid sätta sig in i senare om man har lust. :)

Intressant synpunkt! Tack.