uträkning med De Moivres formel

Tänk grafiskt. -27i sitter på den negativa y-axeln, alltså rakt nedåt från origo. Vilken vinkel pekar rakt nedåt?

Tips på sätt att tänka:

https://www.pluggakuten.se/trad/vet-ej-hur-man-ska-gora-detta/

arg z är alltså 3pi/4=270grader.

z^3=3^3(cos (3*270)+ i * (3*270)=27*0+27*1*i=27*i?  

Är lösningen alltså 27i?

När man multiplicerar tre komplexa tal (z * z * z) multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.

Börja med att rita z³ i det komplexa talplanet.

$$\begin{gathered} z^3=-27i \\ {z}^3=27\angle (\frac{3}{2}\pi +2n\pi ) \\ z=3\angle (\frac{\pi }{2}+\frac{2}{3}n\pi ) \\ {z}_1=3\angle \frac{\pi }{2} \\ {z}_2=3\angle \pi \frac{7}{6} \\ {z}_3=3\angle \pi \frac{11}{6} \end{gathered}$$

Du kan själv räkna om lösningarna från polära tal, till tal i det komplexa talplanet :-)

Tack för hjälpen. Vissa frågetecken kvarstår fortfarande för mig. När vi går från z³ =27∠(32π+2nπ) till z=3∠(π2+23nπ) så har vi ju tagit tredje-roten-ur på VL och HL: (z³)^(1/3) = 27^(1/3). Varför ta du enbart dividerat med 3 här: z3=27∠((3/2π)+2nπ)--> z=3∠((π/2)+(2/3)nπ)?

Varför ta du enbart dividerat med 3 här: z3=27∠((3/2π)+2nπ)--> z=3∠((π/2)+(2/3)nπ)?

När man multiplicerar tre komplexa tal (z * z * z) multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.

Beloppet:

3 * 3 * 3 = 27

Vinkel-exempel:

 $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$

Vinklar i uppgiften:

$\frac{3\pi }{6}+\frac{7\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}=\frac{21\pi }{6}=\frac{12\pi }{6}+\frac{9\pi }{6}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$

Ahh okej. Nu är jag helt med på hur man löser fram z₁, men z₂ och z₃ ? Hur kom du fram till att z₂=3∠π(7/6)  och z ₃=3∠π(11/6)?

$$\begin{gathered} z=3\angle (\frac{\pi }{2}+\frac{2}{3}n\pi ) \\ n=0: z_1=3\angle \frac{\pi }{2} \\ n=1: z_2=3\angle \pi \frac{7}{6} \\ n=2: z_3=3\angle \pi \frac{11}{6} \end{gathered}$$

Aha okej (såhär tänkte jag:  z=3∠(π/2+(2/3)nπ) ger n=1--> ∠(π/2 + 2π )=5π/2? alltså: z₂ =3∠(5π/2) , och samma resonemang leder till att z₃ =3∠(9π/2) ) 

Men skillnaden på ditt och mitt tankesätt är att du även dividerar ... + n2π med 3 och inte enbart vinkeln utan även dess period?, vilket ger dig perioden n(2/3)π

De tre lösnigarna till ekvationen ligger jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo ich radien 3. Det betyder att de tre punkterna ligger på en liksidig triangel.