Utmattande matteproblem

Det verkar som att produkten konvergerar mot $\frac{ \sin x}{x}$

Hej!

Tack för länken.

Ja, det verkar som att allt faller tillbaka på formeln för Sinus-för-dubbla vinkeln.

Med $f(x) = \sin x$ ger upprepad tillämpning av formeln $n$ gånger följande uttryck.

    $f(x) = 2^{n}f(\frac{x}{2^{n}})\prod_{k=1}^{n}\cos \frac{x}{2^{k}}\ ,$

så att man kan skriva

    $\frac{\sin x}{x} / \frac{\sin x/2^{n}}{x/2^{n}} = \prod_{k=1}^{n}\cos \frac{x}{2^{k}}\ .$

Eftersom nämnaren närmar sig 1 när $n$ växer (ett standardgränsvärde) får man resultatet

    $\frac{\sin x}{x} = \prod_{k=1}^{\infty}\cos \frac{x}{2^{k}}\ .$

Integralen som ska beräknas är alltså $\int_{0}^{\pi} x \sin x \,\text{d}x\ ,$ som med partiell integrering är lika med

    $\pi = \int_{0}^{\pi}x^2 \prod_{k=1}^{\infty}\cos \frac{x}{2^{k}}\,\text{d}x\ .$

Albiki