Utmaning där man ska använda Greens Sats

Du har glömt dra bort bidragen som tillkom av att du slöt cirkeln. Vackert namn förresten!

När jag sluter cirkeln, sluter den med den kortaste vägen? Jag tänker att den fortsätter med samma riktning runt så att det blir en cirkel. Därefter tar jag 1/4, vilket borde bli rätt ? Jag förstår inte det du menar. 

Tack detsamma!

Jag skulle välja att sluta området så här

På det sättet behöver man inte räkna linjeintegraler på mer kurvor än räta linjer utmed koordinataxlarna. Det ger två lätta integraler (sätt bara x=0 utmed y-axeln och tvärtom). Du har redan räknat ut att $8/4\iint_S dS=12\pi$

Greens sats ger värdet som motsvarar den slutna kurvintegralen $\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3$. Du har alltså räknat ut värdet av den slutna kurvintegralen. Men du vill bara veta värdet av den första delen, utmed kurvan $\gamma_1$.

Därför behöver du beräkna linjeintegralerna $\int_{x=0}^3 2x\,dx$ och $-\int_{y=0}^26y\,dy$ för $\gamma_2$ och $\gamma_3$. Slutligen subtraherar du dem från det totala värdet. Notera att du går i negativ riktning utmed y-axeln.

ok tack! Då förstår jag bättre. Är det så att "banan" alltid väljer att  gå på y och x axeln för att sluta kurvan ?

Trodde att när jag använde greens sats så gick den långs ytterkanten hela vägen runt och när man delar på fyra så börjar den vid högra yttersta kant och slutar i översta högsta kant

Kurvintegralen över hela ytterkanten är $48\pi$, men eftersom linjeintegranden inte är helt symmetrisk kan du inte bara dela med 4 för att få kurvbidraget från den första kvadranten.

Det är du själv som väljer hur du vill sluta området, det viktiga är att det blir ett slutet område. Ju lättare väg du kan hitta (dvs en kurva som är lätt att integrera över) desto bättre.

ok, men jag gjorde om den så den blev symmetrisk med u och v och jacobianen. Går det inte då ?

Nej, du måste hålla isär området och integranden (fältet). När du beräknar arean av området (gånger en konstant) kan du använda symmetri, men när du beräknar kurvintegralen är integranden

$df=(2x-3y)dx + (5x+6y)dy$

Och kurvbidraget från den blir inte symmetriskt (eller exakt lika stort) i alla kvadranter