8 svar

132 visningar

dajamanté behöver inte mer hjälp

Utmanande matte: problem 2

Andra problem:

Min inelegant men förhoppningsvis korrekt lösning:

Vi noterar att dessa tal är löjligt stora och att betrakta dem för länge ger en kraftig huvudvärk. Vi antar att det finns något grundläggande algebraisk sats som säger att multiplikativa/kommutativa regler gäller likadant för stora och mindre tal.

Vi ersätter talen med $5^{10} o c h 10!$

$L_{1} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 L_{2 =} 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Nu kan vi matcha båda listor:

$L_{1 =} 10 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 = (5 \cdot 5 - 1) \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 5 + 1 \cdot 1 L_{2 =} 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

$L_{1 =} 5 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot (5 \cdot 5 - 1) \cdot 5 \cdot (5 + 1) \cdot 1 L_{2 =} 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

$L_{1 =} 2 \cdot (9 \cdot 8 = 5 * 14 + 2) \cdot 7 L_{2 =} 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 L_{1 =} 2 \cdot 5 \cdot 14 + (5 - 1) \cdot 7 L_{2 =} 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Vi ser att $5^{10}$ är undanflykt större än fakultet 10. Vi generaliserar till $51^{101} \geq 101!$ . Vi skickar vår papper på matematiska institution och hoppas att inte bli utvisad tillbaka till Frankrike.

Ingår begreppen

aritmetiskt medelvärde

och

geometriskt medelvärde

i kursen?

Att byta ut 101 mot 10 kommer nog inte ses som en godkänd lösning av problemet :)

Du ha två listor med 101 tal i varje.

Den ena listan är 1*2* ...48*49*50*51*52*53*54*...*100*101.

Den andra listan är 51*51*51*...*51*51.

Titta på faktor nr 51 i vardera listan - 51 i båda. Lika.

Titta på faktor 50 och 52 i vardera listan. Vilket är störst, 50*52 eller 51*51? (Använd konjugatregeln).

Titta på faktor 49 och 53 i vardera listan. Vilket är störst, 49*53 eller 51*51? (Använd konjugatregeln).

Resonera likadant tills de båda listorna är slut. Resten fixar du.

I see Smaragdalena!

$51^{2} > (51 - 1) (51 + 1) = (51^{2} - 1) 51^{2} > (51 - 2) (51 + 2) = (51^{2} - 4)$

Osv...

Det var snyggt löst!

Dr. G, jag läste aritmetisk och geometrisk medelvärde, men inte i denna kurs. Det är bara roliga problem i den.

Men har vi en aritmetisk summa i dessa följder?

51 är aritmetiskt medelvärde A av talen 1 till 101. Vi har då att

51^101= A^101

101! Är geometriskt medelvärde (G) av talen 1 till 101, upphöjt till 101.

101! = G^101

Allmänt gäller att A ≥ G, och då gäller även att A^n ≥ G^n för n> 0.

Dr. G skrev :
51 är aritmetiskt medelvärde A av talen 1 till 101. Vi har då att
51^101= A^101

Detta köper jag. Vi tar miltalen mellan 1 och 101.

101! Är geometriskt medelvärde (G) av talen 1 till 101, upphöjt till 101.
101! = G^101

Detta har jag svårare att köpa trotts att priset är så bra. Är inte $G = \sqrt{101 \cdot 100 \dots 1}$ ?

Allmänt gäller att A ≥ G, och då gäller även att A^n ≥ G^n för n> 0.

Det köper jag också.

dajamanté skrev :
101! Är geometriskt medelvärde (G) av talen 1 till 101, upphöjt till 101.
101! = G^101
Detta har jag svårare att köpa trotts att priset är så bra. Är inte $G = \sqrt{101 \cdot 100 \dots 1}$ ?

Med N tal (N = 101) är geometriskt medelvärde produkten av talen upphöjt till 1/N, eller om du vill N:te roten ur talens produkt.

Produkten av N tal är då samma sak som talens geometriska medelvärde upphöjt till N.

Hej!

Det gäller att $G = 101!^{\frac{1}{101}}.$

Det geometriska medelvärdet av två positiva tal är $(ab)^{\frac{1}{2}}.$

Det geometriska medelvärdet av tre positiva tal är $(abc)^{\frac{1}{3}}$ , och så vidare.

Albiki

Ok nu är jag totalt med. Väldigt elegant.

Svara

Visa senaste svar