Utföra integrering av termer

Ser bra ut dock ska inte + C vara med

Tips: partiell integration.

Ha för vana att kontrollderivera din primitiva funktion. Då slipper du titta i facit. 

Dr. G skrev :

Tips: partiell integration.

Ha för vana att kontrollderivera din primitiva funktion. Då slipper du titta i facit. 

Ah just det!

Men om jag börjar med partiell integration så kommer jag såhär långt.

$$\begin{gathered} \int x^3\sin \left(2x\right) dx = x^3*(-\frac{\cos \left(2x\right)}{2})-\int 3x^2*(-\frac{\cos 2x}{2}) dx = \\ -\frac{1}{2}{x}^3\cos \left(2x\right)+\int \frac{3}{2}{x}^2\cos \left(2x\right)dx \end{gathered}$$

Men hur går jag vidare nu? 

Fortsätt med partiell integration och "derivera ner" $x^2$-termen. Till slut kommer du få en integral att lösa som bara innehåller sin eller cos.

tomast80 skrev :

Fortsätt med partiell integration och "derivera ner" $x^2$-termen. Till slut kommer du få en integral att lösa som bara innehåller sin eller cos.

Okej, så ser detta Ok ut som fortsättning?

$$\begin{gathered} \frac{3}{2}\int x^2*\left(\frac{1}{2}\right)*\left(\sin \right(2x\left)\right) - \int 2x*\left(\frac{{\displaystyle 1}}{2}\right)\left(\sin \right(2x\left)\right) dx = \\ 2x*(-\frac{{\displaystyle 1}}{2})\left(\cos 2x\right) - \int 2*(-\frac{{\displaystyle 1}}{2})\left(\cos \right(2x\left)\right) = \\ 2*(-\frac{{\displaystyle 1}}{2})\left(\sin \right(2x) - \int 0 * (-\frac{1}{2}\left)\right(\sin \left(2x\right)) \end{gathered}$$

Eller har jag gjort några fel längs vägen?

Jag tror själv nu när jag testar igen att jag gjorde fel i förra posten.
Men om jag gör såhär istället, blir det rätt då?

$$\begin{gathered} \int x^3 * \sin \left(2x\right) = x^3 * \left(\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int 3x^{2 }* \left(\frac{\cos 2x}{2}\right) = \\ \left(\frac{1}{2}\right)x^3 * \cos \left(2x\right) - \int \left(\frac{3}{2}\right)x^2 * \cos \left(2x\right) = \\ \left(\frac{1}{2}\right)x^3 * \cos \left(2x\right) - ( (\frac{3}{2})x^2 *\hspace{0.17em}(\frac{\sin \left(2x\right)}{2}) -\int 3x * (\frac{\sin \left(2x\right)}{2}) = \\ (\frac{1}{2})x^3 * \cos (2x) - ( \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) - \int \left(\frac{3}{2}\right)x * \sin \left(2x\right)) = \\ (\frac{1}{2})x^3 * \cos (2x) - ( \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) - \left(\right(\frac{3}{4})x * (-\cos \left(2x\right)) - \int (\frac{3}{2}\left)\right(\frac{\cos \left(2x\right)}{2}) = \\ (\frac{1}{2})x^3 * \cos (2x) - ( \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) + \left(\right(\frac{3}{4})x * \cos (2x) + (\frac{3}{4}) \sin 2x + C \end{gathered}$$

Eller har jag förvirrat mig igen?

Anderssinho skrev :

Jag tror själv nu när jag testar igen att jag gjorde fel i förra posten.
Men om jag gör såhär istället, blir det rätt då?

$$\begin{gathered} \int x^3 * \sin \left(2x\right) = x^3 * \left(\frac{\cos 2x}{2}\right) - \int 3x^{2 }* \left(\frac{\cos 2x}{2}\right) = \\ \left(\frac{1}{2}\right)x^3 * \cos \left(2x\right) - \int \left(\frac{3}{2}\right)x^2 * \cos \left(2x\right) = \\ \left(\frac{1}{2}\right)x^3 * \cos \left(2x\right) - ( (\frac{3}{2})x^2 *\hspace{0.17em}(\frac{\sin \left(2x\right)}{2}) -\int 3x * (\frac{\sin \left(2x\right)}{2}) = \\ (\frac{1}{2})x^3 * \cos (2x) - ( \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) - \int \left(\frac{3}{2}\right)x * \sin \left(2x\right)) = \\ (\frac{1}{2})x^3 * \cos (2x) - ( \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) - \left(\right(\frac{3}{4})x * (-\cos \left(2x\right)) - \int (\frac{3}{2}\left)\right(\frac{\cos \left(2x\right)}{2}) = \\ (\frac{1}{2})x^3 * \cos (2x) - ( \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) + \left(\right(\frac{3}{4})x * \cos (2x) + (\frac{3}{4}) \sin 2x + C \end{gathered}$$

Eller har jag förvirrat mig igen?

När jag tittar på det igen tror jag att jag har blandat ihop minus/plus. 

Ja rätta till teckenfelen så får vi se hur det ser ut sedan. Som det är nu så är det ju teckenfel redan på första raden.

mattekalle skrev :

Ja rätta till teckenfelen så får vi se hur det ser ut sedan. Som det är nu så är det ju teckenfel redan på första raden.

$-\left(\frac{1}{2}\right)x^{3 }* \cos \left(2x\right) + \left(\frac{3}{4}\right)x^2 * \sin \left(2x\right) -\left(\frac{3}{4}\right)x * \cos \left(2x\right) + \left(\frac{3}{4}\right) \sin \left(2x\right) + C$

Sådär, nu tror jag att jag fick rätt alla tecken.

De två första termerna är rätt sedan är det fel.

mattekalle skrev :

De två första termerna är rätt sedan är det fel.

Jag hittade nu ett annat sätt att göra partialintegration som jag tycker var enklare och ger mig rätt tecken.
$$\begin{gathered} Der | Int \\ {x}^3 \sin (2x) \\ -3x^2 -\frac{1}{2}\cos (2x) \\ 6x -\frac{1}{4}\sin (2x) \\ -6 \frac{1}{8}\cos (2x) \\ 0 \end{gathered}$$

Sedan tar man der rad 1 och multiplicerar in den i rad 2 int.
Då får jag följande svar:

$-\frac{1}{2}{x}^3 * \cos \left(2x\right)+\frac{3}{4}{x}^2 * \sin \left(2x\right) + \frac{3}{4}x * \cos \left(2x\right) - \frac{3}{8}\sin \left(2x\right)+C$

Men kan någon svara på vart jag gjorde fel i min beräkning ovan

Hej!

Låt $I_{n}$ beteckna integralen $\int x^n \sin 2x \,\text{d}x$  och $J_{n}$ beteckna integralen $\int x^{n}\cos 2x \,\text{d}x\ .$

Partiell integrering visar att

    $I_{n} = -0.5x^{n}\cos 2x + 0.5nJ_{n-1}$

och

    $J_{n} = 0.5x^{n}\sin 2x - 0.5nI_{n-1}\ .$

Detta visar att

    $I_{n} = -0.5x^{n}\cos 2x + 0.5^2nx^{n-1}\sin 2x - 0.5^2n(n-1)I_{n-2})\ .$

Detta räcker för att bestämma det du söker, vilket är $I_{3}.$ För detta behöver du känna till att

    $J_{0} = 0.5\sin 2x$

vilket ger dig $I_{1}$ vilket slutligen ger $I_{3}\ .$

Albiki

Jag kom på att vi kan vänta med konstanten C tills efter sista integralen.

I din flerradiga uträkning så blev det ju som sagt fel redan efter första likhetstecknet. Kom också ihåg att konstanten C skall vara med hela vägen. Sedan missade du en division med 2 på slutet, se nedanstående bild.