Ushhhhchhh! (derivata)

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left( e^{f(x)}\right )=f\mathrm{'}(x)e^{f(x)}$

$f(x)=x\ln(x)$

Och så vidare..-

eller implicit derivering, se här: http://www.matteguiden.se/matte-f/derivator/implicit-derivering/

Implicit delivering ska jag läsa först grej i morgon bitti...

Men derivata på xlnx... Är det lnx+1? Jag har The Dumb idag.

Tänk produktregeln:

$\displaystyle \frac{d}{dx}$$[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Tack Ture, vilket fantastisk hemsida... (funkar utmärkt så länge en inte glömmer den inre derivata) ''Vem har inte någon gång funderat på vad derivatan för $x^x$ är? ''

Hej Albin, på nån anledning får jag inte fram det med den traditionella metoden!

Varför produkt regel, är det inte kedjeregeln?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^x \iff e^{\ln x^x}\iff e^{x\ln x} \\ D\left(e^{x\ln x}\right)=D\left(e^{x\ln x}\right)\left(x\ln x\right)D\left(x\ln x\right)=x\ln x e^{x\ln x}\left(x\ln x\right)\left(1+\ln x\right) \end{gathered}$$

Jo, kedjeregeln appliceras på $e^{x}$- och $x\ln(x)$-delarna, men för att derivera $x\ln(x)$, dvs. inrederivatan krävs produktregeln. 

Man använder båda. Guggle visade ju hur man kommer så långt med kedjeregeln:

$\displaystyle \frac{d}{dx}[e^{x\ ln(x)}]=\frac{d}{dx}$$[x\ ln(x)] \cdot e^{x\ ln(x)}$

När vi sedan ska klura ut derivatan av $x\ ln(x)$ måste vi använda produktregeln eftersom vi har en produkt mellan två funktioner ($x$ och $ln(x)$).

Smutso jag ger upp, kan du kedja ner den och använda produktregeln åt mig?

Vi delar upp funktionen på detta sätt:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=e^{x·\ln x} \\ g\left(x\right)=e^x \\ h\left(x\right)=x·\ln x \\ h\left(x\right)=j\left(x\right)·k\left(x\right) \end{gathered}$$

För att derivera, måste vi först använda kedjeregeln. Yttrederivatan är $e^x$, och inrederivatan är derivatan av $x·\ln x$:

$f\text{'}\left(x\right)=e^{x·\ln x}·h\text{'}\left(x\right)$

$$\begin{gathered} h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)+f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=\ln x+x·\frac{1}{x}=\ln x+1 \end{gathered}$$

Det ger den hela derivatan:

$f\text{'}\left(x\right)=e^{x·\ln x}·(\ln x+1)$

(Om jag inte slarvat för mycket)

Tack. Nu blev det snygg.

Din lösning stämmer, dom har bara förkortat x$x^x(\ln x+1)$

Så den yttre derivata av $e^{\ln pi 3 whatever}$ är alltid $e^{\ln pi 3 whatever}$... och inte $\ln pi 3 whatever e^{\ln pi 3 whatever}$?

Om den yttre funktionen är $e^{kx}$, är den yttre derivatan $k{e}^{kx}$, ja. För en funktion som $e^{7x·\ln x}$ blir den yttre derivatan totalt $7x·\ln x·e^{7x·\ln x}$.

Smutstvätt skrev:

Om den yttre funktionen är $e^{kx}$, är den yttre derivatan $k{e}^{kx}$, ja. För en funktion som $e^{7x·\ln x}$ blir den yttre derivatan totalt $7x·\ln x·e^{7x·\ln x}$.

 Fast derivatan för $e^{7x \cdot ln(x)}$ blir väl ändå:

$(7ln(x)+7)e^{7x \cdot ln(x)}$

... så vilken är det?

AlvinB:s stämmer.

$\frac{d}{dx}e^{f(x)} = f'(x)\cdot e^{f(x)}$

$f'(x) = \frac{d}{dx}(7x\ln x) =$

{produktregeln}

$7\cdot \ln x + 7x\cdot \frac{1}{x} =$

$7\ln x+7$

Det är ju....

Smutstvätt bara följde e-reglerna, och det är denna tack hon får från matematiska principer!

(nämen seriöst, tack till alla. Jag lovar att skärpa mig från nästa vecka)

dajamanté skrev:

Det är ju....

Smutstvätt bara följde e-reglerna, och det är denna tack hon får från matematiska principer!

 

(nämen seriöst, tack till alla. Jag lovar att skärpa mig från nästa vecka)

 ${}^{{}^{\mathrm{Jag} \mathrm{med}... :(}}$