Uppskattning av generaliserade integral

Har du provat att rita?

Laguna skrev:

Har du provat att rita?

Det har jag gjort, och jag ser att när $\underset{x\to \infty }{\lim }$$\cos \left(\frac{1}{x}\right)$ så är gränsvärdet 1 och att integralen är oändligt stor då $f\left(x\right)$ aldrig når 1. I facit står det däremot att "Divergent (integranden är större än 1/2)" så jag är förvirrad hur de fick just 1/2

Man kan ta vilket positivt tal man vill som ligger mellan noll och cos(1). 1/2 är bra för att det är lite mindre än cos(1).

Jag förstår inte helt riktigt varför 1/2 är bättre än cos(1) i detta fall.

WimpyBaby skrev:

Jag förstår inte helt riktigt varför 1/2 är bättre än cos(1) i detta fall.

För att du vet hur mycket 1/2 är.

Hej!

Jag antar att du menar att frågan är om integralen är divergent eller konvergent.

Som du redan påpekat så gäller såklart att $-1\leq \cos\left(x\right)\leq 1$. Dessutom har du att $\lim_{x\to+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\cos\left(0\right)=1$. Motivera varför det finns och välj sedan ett $N>0$ sådant att för alla $n>N$ så gäller $\cos\left(\frac{1}{n}\right)\geq \frac{1}{2}$. Dela upp integralen som $\displaystyle\int_1^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^N \cos\left(\frac{1}{x}\right)dx+\int_N^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx$. 

Vad för slutsats kan du dra?

Och som tidigare påpekats i tråden, varför valde vi just $\frac{1}{2}$? Ja, varför inte, du kunde lika gärna ha använt $\frac{17}{23}$ eller något annat som leder till samma slutsats.

Moffen skrev:

Hej!

Jag antar att du menar att frågan är om integralen är divergent eller konvergent.

Som du redan påpekat så gäller såklart att $-1\leq \cos\left(x\right)\leq 1$. Dessutom har du att $\lim_{x\to+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\cos\left(0\right)=1$. Motivera varför det finns och välj sedan ett $N>0$ sådant att för alla $n>N$ så gäller $\cos\left(\frac{1}{n}\right)\geq \frac{1}{2}$. Dela upp integralen som $\displaystyle\int_1^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^N \cos\left(\frac{1}{x}\right)dx+\int_N^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx$. 

Vad för slutsats kan du dra?

Och som tidigare påpekats i tråden, varför valde vi just $\frac{1}{2}$? Ja, varför inte, du kunde lika gärna ha använt $\frac{17}{23}$ eller något annat som leder till samma slutsats.

tack, nu förstår jag med din förklaring.