Uppskatta felet för Taylorpolynom

Hej!

Jag är osäker på hur man gör på följande uppgift (fetmarkerad del).

"Bestäm Maclaurinpolynomet av grad 3 till ln(1 + x) och använd det för att hitta ett närmevärde till ln 1,3. Kan du vara säker på att felet i ditt närmevärde är till beloppet mindre än 0,005?"

Taylorpolynomet blir $p_{3} (x) = x - \frac{1}{6} x^{3}$ och närmevärdet blir 0,2955 (rätt enligt facit). Sedan försöker jag använda en formel för att räkna ut felet. Vi får $\frac{f^{(n + 1)} (c)}{n + 1!} \cdot {(x - a)}^{n + 1} = \frac{f^{(4)} (c)}{4!} \cdot x^{4}$ . Sedan kommer jag inte längre. x-värdet som ska stoppas in är väl 1,3, men vad blir c? Enligt kursmaterialet gäller att c är "någon punkt mellan a och x", alltså i detta fall "någon punkt mellan 0 och 1,3". Stämmer det? Isåfall, vad exakt ska man välja c som? här Ska man ens välja det som något? Ska man sätta felet lika med 0,005 och räkna ut c och kolla om det ligger i intervallet? Är förvirrad.

Derivera f fyra gånger. Vilket c ger störst fel?

Du ska uppskatta felet, det verkligen felet ges för något okänt c. Du skall välja det c som gör att din uppskattning, dvs feltermen, blir maximal. Då vet du med säkerhet att det verkliga felet kommer ligga under detta uppskattade värde.

Taylor serie: Generell serieutveckling med minst fel runt punkten x = a
Maclaurin-serie: Specialfall av Taylor med minst fel runt punkten x = a = 0

Har du glömt x²-termen i Maclaurin-polynomet och vad blir konstanten framför x³?

Varför du skriver "(c)" i stället för "(a)" vet jag inte, men då blir ju c = a = 0

Feltermen ska ha ett beloppstecken.

Termerna kxⁿ skiftar tecken, vilket är en förutsättning för felanalysen.

Affe Jkpg skrev:
Taylor serie: Generell serieutveckling med minst fel runt punkten x = a
Maclaurin-serie: Specialfall av Taylor med minst fel runt punkten x = a = 0
Har du glömt x²-termen i Maclaurin-polynomet och vad blir konstanten framför x³?
Varför du skriver "(c)" i stället för "(a)" vet jag inte, men då blir ju c = a = 0
Feltermen ska ha ett beloppstecken.
Termerna kxⁿ skiftar tecken, vilket är en förutsättning för felanalysen.

Summan av termerna (-1)ⁿ⁺¹k_nxⁿ måste konvergera. Beloppet av "x" ska då vara mindre än ett.
Termerna (-1)ⁿ⁺¹k_nxⁿ skiftar tecken i denna uppgift, vilket också är en förutsättning för felanalysen.
"a" är då skilt från noll. Vi har då en Taylor- inte en Maclaurin-serie.
Vanligen ger man "a" ett basalt värde, typ "a=1" i denna uppgift.
Om felet då ändå blir för stort, kan man skriva (c = a):

$ε < |\frac{f^{4} (c)}{4!} {(x - c)}^{4}|$

Bestäm c...

Felpost, tröttmössa här.

Ditt x blir väl 0,3? För du har redan en etta i ln(1+x). Annars gör som Qetsiyah sa.

Tack, jag tror att jag vet ungefär hur jag ska tänka nu iallafall.

Svara

Visa senaste svar