Upprepad insättning: ränta

Kan du vara snäll och länka till dels frågan, dels lösningen? Jag hittar inte den uppgiften på Matteboken.se under Ma1.

Smaragdalena skrev:

Kan du vara snäll och länka till dels frågan, dels lösningen? Jag hittar inte den uppgiften på Matteboken.se under Ma1.

 Jag länkade inte till frågan och lösningen, eftersom en slumpvis vald fråga med Lovisa som huvudperson slumpas fram. Men du kan alltid undersöka själv och se om värdena med antal år stämmer, för jag tror de alltid tar färre år än jag gör, dvs. sparar Lovisa pengar i 10 år så genereras n = 9 och inte n = 11, då allt annat lika. https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/procent/ranta/uppgifter#/exercises/9257/9259.

Tack för svar.

I december efter 1 år finns det $500$ kronor på kontot.

I januari efter 1 år finns det $500+500\cdot1,02$ kronor på kontot. 

I december efter 2 år finns det $500+500\cdot1,02$ kronor på kontot, lika mycket som i januari, eftersom både insättningen och räntan kommer i januari efter 2 år.

I december efter 21 år har hon inte gjort den 22:a insättningen. Hon har heller inte fått ränta för det året än.

Det förklarar varför det bara finns 20 insättningar som hon har fått ränta på. Facit verkar ha glömt lägga till den sista insättningen som hom inte fått ränta på.

Om du nu menar att facit glömt att lägga in den sista insättningen hon inte fått ränta på så ska n = 21, och inte n = 20. Då stämmer inte facit med om man lägger in det i formeln för en geometrisk talföljd eller räknar fram det med S4=∑=a1⋅k^(n−1).

Jag tänkte nämligen att januari börjar året och hon väntar till nästa januari och får en ränta, då har Lovisa gjort 22 insättningar i januari efter 21 år. Men ett år räknas tydligen inte från den dag hon sätter in pengar till samma datum nästa år då hon sätter in pengar utan från början av året (januari) till slutet av året (december).

Men facit har ändå fel när man bör addera de sista 500 kronor hon inte fått ränta på. Hon gör ju trots allt 21 insättningar och inte 20 insättningar när man räknar från jan-december i 21 år.

Läs uppgiften. De vill ha värdet i december efter 21 år, inte i januari efter 21 år. Jag tänkte fel om den sista insättningen, den är redan medräknad.

Hej!

Såhär ser Lovisas saldo ut under några år.

• 1 Januari 2018: $500$ kr.
• 1 Januari 2019: $500+0.02\cdot 500+500=1010$ kr.
• 1 Januari 2020: $1010+0.02\cdot 1010+ 500 = 1530.20$ kr.
• 1 Januari 2021: $1530.20+0.02\cdot 1530.20+500$ kr.

Den 13 December 2019 finns det 1010 kr på saldot.

Den 12 Januari 2020 finns det 1530.20 kr på saldot.

 Jag tänkte så här:

Jan-Jan i 21 år. Det blir 22 insättningar då år 0 = januari, en insättning första året och en insättning sista året på 21, blir 22 insättningar. Det var fel. Det är jag med på. Här blir det ingen ränta sista året i januari, övriga år fås en ränta.

Nu menar du (vilket är korrekt, står i frågan) att insättningen sker i januari och räntan kommer i december varje år. Det vi vill ha fram är summan efter 21 år i december. Ett år går alltså från januari-december. Insättningen sker i början av året i 21 år. Räntan kommer 1 januari i 21 år. Vad är värdet i december efter 21 år, är frågan.

Första året gör Lovisa en insättning. Det är år 0-1, beroende på hur man väljer att räkna. år 20-21, alltså sista året då det är jan-dec, gör hon sin sista insättning. Alltså gör hon insättningar från 0-20, vilket blir 21 insättningar där hon inte får ränta på den tjugoförsta insättningen men övriga får hon ränta.

Jag får det till 21 insättningar. Du får gärna förklara för mig hur det blir 20 insättningar, för uppenbarligen har jag en annan uppfattning.

År

0-1 första insättningen i januari

1-2 andra insättningen

2-3 tredje insättningen

3-4 fjärde insättningen

4-5 femte insättningen

5-6 sjätte insättningen

6-7 sjunde insättningen

7-8 åttonde insättningen

8-9 nionde insättningen

9-10 tionde insättningen

10-11 elfte insättningen

11-12 tolfte insättningen

12-13 trettonde insättningen

13-14 fjortonde insättningen

14-15 femtonde insättningen

15-16 sextonde insättningen

16-17 sjuttonde insättningen

17-18 artonde insättningen

18-19 nittonde insättningen

19-20 tjugonde insättningen

20-21 tjugoförsta insättningen i januari (ingen ränta på denna för räntan får man först nästa år i januari)

Om du har en summation från 0 till 20 så blir det 21 termer.

Smaragdalena skrev:

Om du har en summation från 0 till 20 så blir det 21 termer.

Ja, hon gör alltså 21 insättningar men facit säger 20 insättningar, vilket du kan testa genom att sätta in n = 20 och n = 21 i formeln för en geometrisk summa.  Och summationen är en beskrivning av alla år Lovisa gör insättningar.

Har facit rätt menar du och Lovisa gör 20 insättningar? Kan du beskriva hur du ställt upp det?

Om du vill att $a^m$ skall vara lika med 1, krävs det att $m=0$ och då blir det sammanlagt 21 insättningar, när $m$ går från 0 till 20.

Smaragdalena skrev:

Om du vill att $a^m$ skall vara lika med 1, krävs det att $m=0$ och då blir det sammanlagt 21 insättningar, när $m$ går från 0 till 20.

 Det handlar inte om vad jag vill utan vad som är rätt. Jag har räknat fram att hon gör 21 insättningar medan facit säger 20 insättningar. Jag vill veta varför facit menar att det är 20 insättningar och inte 21 insättningar Lovisa gör.

Räkna nu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Hur många tal är det? (Det är inte 20.)

 Rita en figur. Det är alltid bra att rita en figur.

Insättningarna är markerade med svarta streck, och siffermarkeringarna visar hur många år som har gått från första insättningen.

Uppgiftens "i december efter 21 år" betyder "i december efter nästan 21 år", alltså vid min gröna pil. Det är nog någon minut eller någon dag innan Lovisa skulle sätta in nya pengar.

renv skrev:

Smaragdalena skrev:

Om du vill att $a^m$ skall vara lika med 1, krävs det att $m=0$ och då blir det sammanlagt 21 insättningar, när $m$ går från 0 till 20.

 Det handlar inte om vad jag vill utan vad som är rätt. Jag har räknat fram att hon gör 21 insättningar medan facit säger 20 insättningar. Jag vill veta varför facit menar att det är 20 insättningar och inte 21 insättningar Lovisa gör.

 Jag ser bara ett belopp som svar. Ser du verkligen någonstans att facit säger hur många insättningar hon gör?

Bubo skrev:

renv skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Om du vill att $a^m$ skall vara lika med 1, krävs det att $m=0$ och då blir det sammanlagt 21 insättningar, när $m$ går från 0 till 20.

 Det handlar inte om vad jag vill utan vad som är rätt. Jag har räknat fram att hon gör 21 insättningar medan facit säger 20 insättningar. Jag vill veta varför facit menar att det är 20 insättningar och inte 21 insättningar Lovisa gör.

 Jag ser bara ett belopp som svar. Ser du verkligen någonstans att facit säger hur många insättningar hon gör?

 Jag tror inte att det står någonstans att Lovisa gör 20 insättningar, jag tror att det står att k går från 0 till 20, alltså 21 insättningar.

Bubo skrev:

 Rita en figur. Det är alltid bra att rita en figur.

 

Insättningarna är markerade med svarta streck, och siffermarkeringarna visar hur många år som har gått från första insättningen.

Uppgiftens "i december efter 21 år" betyder "i december efter nästan 21 år", alltså vid min gröna pil. Det är nog någon minut eller någon dag innan Lovisa skulle sätta in nya pengar.

 Bra figur! Ganska typiskt att en matteuppgift kan handla om annat än matematik!

… i december efter 21 år. Ska inte den gröna pilen då ha passerat "21" och närmat sig år 22?
Då får jag det till 22 insättningar!

Nej, nej, nej.

Första insättningen är vid nollan. Då har det gått noll tid.

Efter 21 år är vi framme vid markeringen "21". Den markeringen är när nästa insättning skulle ske, men det står ju tydligt "i december efter 21 år", alltså strax innan insättningen, precis som jag har markerat i figuren du kallar bra.

EDIT: Lägg märke till att vi har exakt lika mycket på kontot under hela året mellan siffermarkeringarna. Räntan på det gamla kapitalet kommer samtidigt som Lovisa sätter in de nya pengarna. Det hon har i december hade hon redan i februari!

 Jag har lite svårt att släppa det här...

Vad står det egentligen i facit? Står det 12148.68 kronor?

Jag får 12891.66 kronor, alltså en skillnad (243+500) kronor. Ett års ränta och en insättning.

Bubo skrev:

 Jag har lite svårt att släppa det här...

Vad står det egentligen i facit? Står det 12148.68 kronor?

Jag får 12891.66 kronor, alltså en skillnad (243+500) kronor. Ett års ränta och en insättning.

 Jag får också 12891,66 kronor.  Facit skriver att lösningen till uppgiften är 12148,68 kronor.

Vad jag kan se räknar facit på 20 insättningar. Jag kan inte förklara det här mer matematiskt så lättbegripligt. Nöjer mig med att tar vi formeln Sn=∑=a1⋅k^(n−1), så har facit n = 20, då upphöjs k (förändringsfaktorn) från 0-19 (det vill säga hon gör 20 insättningar) och inte 21 insättningar. Då blir svaret 12148,68 kronor. Likadant om vi använder formeln Sn=a1⋅(k^n−1) / k−1, med samma värde för n, allt annat lika, blir svaren för n = 20: 12148,68 kronor, och n = 21: 12891,66 kronor.

Vad sätte facit för gränser för summeringen?

Smaragdalena skrev:

Vad sätte facit för gränser för summeringen?

20 summor. Alltså menar facit att Lovisa gör 20 insättningar och inte får ränta på den sista insättningen.

År 0: sätter in 500 kronor

I januari efter 1 år: 500 kronor * 1,02 (ränta på föregående års insättning) + 500 kronor (ny insättning) = 1 010 kronor

I januari efter 19 år: insättningar och ränta på tidigare insättningar... 500 kronor * 1,02 ^19  + 500 kronor (ny insättning) = 12 148,68 kronor

Bubo skrev:

Nej, nej, nej.

Första insättningen är vid nollan. Då har det gått noll tid.

Efter 21 år är vi framme vid markeringen "21". Den markeringen är när nästa insättning skulle ske, men det står ju tydligt "i december efter 21 år", alltså strax innan insättningen, precis som jag har markerat i figuren du kallar bra.

EDIT: Lägg märke till att vi har exakt lika mycket på kontot under hela året mellan siffermarkeringarna. Räntan på det gamla kapitalet kommer samtidigt som Lovisa sätter in de nya pengarna. Det hon har i december hade hon redan i februari!

 Hehe…

Efter 21 år är vi väl inte bara framme vid markeringen "21", utan ska ha passerat!
Om jag går efter dig, går jag då vid sidan av dig?

renv skrev:

Smaragdalena skrev:

Vad sätte facit för gränser för summeringen?

20 summor. Alltså menar facit att Lovisa gör 20 insättningar och inte får ränta på den sista insättningen.

År 0: sätter in 500 kronor

I januari efter 1 år: 500 kronor * 1,02 (ränta på föregående års insättning) + 500 kronor (ny insättning) = 1 010 kronor

I januari efter 19 år: insättningar och ränta på tidigare insättningar... 500 kronor * 1,02 ^19  + 500 kronor (ny insättning) = 12 148,68 kronor

 Menar du att summeringen går från 0 till 20? I så fall är det 21 termer i summan.

Smaragdalena skrev:

renv skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Vad sätte facit för gränser för summeringen?

20 summor. Alltså menar facit att Lovisa gör 20 insättningar och inte får ränta på den sista insättningen.

År 0: sätter in 500 kronor

I januari efter 1 år: 500 kronor * 1,02 (ränta på föregående års insättning) + 500 kronor (ny insättning) = 1 010 kronor

I januari efter 19 år: insättningar och ränta på tidigare insättningar... 500 kronor * 1,02 ^19  + 500 kronor (ny insättning) = 12 148,68 kronor

 Menar du att summeringen går från 0 till 20? I så fall är det 21 termer i summan.

Här menar jag att summeringen går från 0-19. Då är det 20 termer i summationen. De 500 kronor Lovisa gör som sin sista insättning är beräkningen 500 kronor * 1,02^0 = 500 * 1 = 500 kronor. Övriga beräkningar från 500 kronor * 1,02^1-19 är de räntor hon får på sina pengar.

Affe Jkpg skrev:

Bubo skrev:

Nej, nej, nej.

Första insättningen är vid nollan. Då har det gått noll tid.

Efter 21 år är vi framme vid markeringen "21". Den markeringen är när nästa insättning skulle ske, men det står ju tydligt "i december efter 21 år", alltså strax innan insättningen, precis som jag har markerat i figuren du kallar bra.

EDIT: Lägg märke till att vi har exakt lika mycket på kontot under hela året mellan siffermarkeringarna. Räntan på det gamla kapitalet kommer samtidigt som Lovisa sätter in de nya pengarna. Det hon har i december hade hon redan i februari!

 Hehe…

Efter 21 år är vi väl inte bara framme vid markeringen "21", utan ska ha passerat!
Om jag går efter dig, går jag då vid sidan av dig?

Om det är 1 januari och jag pratar om "julafton om ett år", så pratar jag rimligen om julafton samma år, och inte den julafton som är nästan två år framåt!

Affe Jkpg skrev:

Bubo skrev:

Nej, nej, nej.

Första insättningen är vid nollan. Då har det gått noll tid.

Efter 21 år är vi framme vid markeringen "21". Den markeringen är när nästa insättning skulle ske, men det står ju tydligt "i december efter 21 år", alltså strax innan insättningen, precis som jag har markerat i figuren du kallar bra.

EDIT: Lägg märke till att vi har exakt lika mycket på kontot under hela året mellan siffermarkeringarna. Räntan på det gamla kapitalet kommer samtidigt som Lovisa sätter in de nya pengarna. Det hon har i december hade hon redan i februari!

 Hehe…

Efter 21 år är vi väl inte bara framme vid markeringen "21", utan ska ha passerat!
Om jag går efter dig, går jag då vid sidan av dig?

 Njo, vi borde vara exakt på markeringen, varken före eller efter den. Men det står ju december, vilket måste betyda omedelbart före markeringen, omedelbart före insättning och ränteutbetalning.

Jag får inte ihop frågans formulering med facits svar.

Moderator: Kan man få med frågans konstruktör i tråden?

Jag kontaktar Mattecentrum och frågar. /moderator

Tack. Jag tycker inte riktigt om att käfta emot så här, men jag är totalt övertygad om att jag har rätt.

(Det bevisar dessvärre ingenting... ☺ )

Jag har precis kollat in frågan och hur vi (Mattecentrum) har konstruerat "facit". Kan tillägga att jag inte har skapat frågan, så jag måste tolka den precis som ni andra :)

Facit använder sig av formeln för geometrisk summa och precis som TS skriver beräknas det slutgiltiga kapitalet med 20 insättningar (n=20).

Efter att själv ha tänkt fram och tillbaka vad "i december efter 21 år" egentligen betyder i antal insättningar kommer jag fram till att det handlar om 21 insättningar (precis som Bubos bild visar) och att de pengar som sätts in det sista året ges ingen ränta på, då beloppet är lika mycket i december som det var i januari när insättningen gjordes. Då kan vi använda oss av formeln för geometrisk summa där antal insättningar är 21.

Alltså skulle jag säga att 12891,66 kr är rätt och att facits svar 12148,68 kr är fel.

Problemet med frågan är att den är knasigt formulerad samt att facit är fel. Jag kommer se över formulering och facit så framtida personer inte blir lika förvirrade som oss :D