Uppgiftsbank-Matematik 3-Polynom och ekvationer

Nivå: E

 Uppgift: Förenkla uttrycket $\frac{6-9x}{3x-2}$

Lösning: $\frac{6-9x}{3x-2}=\frac{{\displaystyle 3}\left(2-3x\right)}{3x-2}=\frac{3\left(2-3x\right)}{-(2-3x)}=-3\frac{{\displaystyle \cancel{\left(2-3x\right)}}}{\cancel{\left(2-3x\right)}}=-3$

Svar: $-3$

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: 

a) Ange en ekvation för den linje som går igenom punkten $(1,1)$ och som är parallell med linjen $2y-4x-8=0$

b) I vilken punkt skär din linje x-axeln?

Lösning: 

a) Vi börja med att skriva om vår linje på k-form $y=kx+m$. $2y-4x-8=0\iff 2y=4x+8\iff y=2x+4$

Eftersom linjerna ska vara parallella behöver riktningskoefficient måste vara den samma vilket ger att$k=2$. Linjen $y=2x+m$ går igenom punkten $(1,1)$ vilket ger ekvationen: $1=2·1+m\iff m=-1$.

Svar: $y=2x-1$

b) Vi vill hitta punkten $(x,0)$ dvs då linjen skär x-axeln. Detta ger ekvationen: $y\left(x\right)=0\iff 0=2x-1\iff x=\frac{1}{2}$ 

Svar: I punkten $(\frac{1}{2},0)$

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: Lös ekvationen $\frac{4x^2-16x}{5x-5}=0$

Lösning: Det ända sättet det rationella uttrycket ska bli noll är om täljaren är lika med noll. Detta ger ekvationen: $\frac{4x^2-16x}{5x-5}=0\iff 4x^2-16x=0\iff 4x(x-4)=0\iff x_1=0 , x_2=4$

Kontrollering av lösningarna:

Då $x=0\Rightarrow \mathrm{VL}=\frac{4·0^2-16·0}{5·0-5}=-\frac{0}{5}=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Då $x=4\Rightarrow \mathrm{VL}=\frac{4·4^2-16·4}{5·4-5}=\frac{0}{15}=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Svar: $x_1=0 , x_2=4$

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: Faktorisera uttrycken

a) $4x-x^2$

b) $x^2-49$

c) $x^2-16x+64$

Lösning: 

a) $4x-x^2=x(4-x)$ , Svar: $x(4-x)$

b) $x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$ , Svar: $(x-7)(x+7)$

c) $x^2-16x+64=x^2-2·8·x+8^2=(x-8{)}^2$, Svar: $(x-8{)}^2$

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: Beräkna $z(-1)$ om $z\left(x\right)=3x^2-5x+2$

Lösning: $z(-1)=3·(-1{)}^2-5·(-1)+2=3·1+5·1+2=3+5+2=10$

Svar: $z(-1)=10$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för $x=8$ och som får värdet 0 då $x=-3$

Lösning: För att uttrycket ska vara odefinierad då $x=8$ behöver nämnaren innehålla en faktor av $(x-8)$. Uttrycket ska bli noll när $x=-3$ vilket gör att täljaren måste ha en faktor av $(x+3)$.

Svar: Exempel på ett rationellt uttrycket: $\frac{x+3}{x-8}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Ett polynom $f\left(x\right)$ av tredje graden har tre nollställen, $-3,-1$ och $2$. Dessutom gäller det att $f\left(0\right)=3$. Bestäm polynomet i faktoriserad form.

Lösning: Om vi skriver funktionen $f\left(x\right)$ i faktorform blir det: $f\left(x\right)=k(x+3)(x+1)(x-2)$, vi vet även att $f\left(0\right)=3\Rightarrow 3=k(0+3)(0+1)(0-2)\iff 3=k·3·1·(-2)\iff 3=-6k\iff k=-\frac{1}{2}$

Svar: $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}(x+3)(x+1)(x-2)$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Bestäm funktionernas nollställen.

a) $f\left(x\right)=(x+2)(x-3)(x+4)$

b) $h\left(x\right)=x^3-2x^2-3x$

Lösning: 

a) För att beräkna nollställena behöver vi lösa ekvationen: $f\left(x\right)=0\iff 0=(x+2)(x-3)(x+4)\iff x_1=-2 , x_2=3 , x_3=-4$

Svar: $x_1=-2 , x_2=3 , x_3=-4$

b) Samma tänk här, nu vill vi lösa ekvationen:

 $$\begin{gathered} h\left(x\right)=0\iff x^3-2x^2-3x=0\iff x(x^2-2x-3)=0\Rightarrow x_1=0 \\ {x}^2-2x-3=0\iff x=1\pm \sqrt{4}=1\pm 2\Rightarrow x_2=3 , x_3=-1 \end{gathered}$$

Kontrollering av lösningarna:

Då $x=0\Rightarrow 0^3-2·0^2-3·0=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Då $x=3\Rightarrow 3^3-2·3^2-3·3=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Då $x=-1\Rightarrow (-1{)}^3-2·(-1{)}^2-3·(-1)=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Svar: $x_1=0 , x_2=3 , x_3=-1$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Lös ekvationen $x^5-16x^3=0$

Lösning: $x^5-16x^3=0\iff x^3(x^2-16)=0\iff x^3(x-4)(x+4)=0\iff x_1=0 , x_2=4 , x_3=-4$

Kontrollering av lösningarna:

Då $x=0\Rightarrow \mathrm{VL}=0^5-16·0^3=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Då $x=4\Rightarrow \mathrm{VL}=4^5-16·4^3=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Då $x=-4\Rightarrow \mathrm{VL}=(-4{)}^5-16·(-4{)}^3=0=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}!$

Svar: $x_1=0 , x_2=4 , x_3=-4$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Låt $g\left(x\right)=12-4x^2$ och beräkna

a) $g(-\sqrt{3})$

b) $g(b+1)$ 

Lösning: 

a) $g(-\sqrt{3})=12-4·(-\sqrt{3}{)}^2=12-4·3=12-12=0$ , Svar: $g(-\sqrt{3})=0$

b) $g(b+1)=12-4(b+1{)}^2=12-4(b^2+2b+1)=12-4b^2-8b-4=-4b^2-8b+8$

Svar: $g(b+1)=-4b^2-8b+8$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Förenkla uttrycket $\frac{4-t^2-2tm-m^2}{2+t+m}$

Lösning: 

$$\begin{gathered} \frac{4-t^2-2tm-m^2}{2+t+m}=\frac{4-(t^2+2tm+m^2)}{2+t+m}=\frac{4-(t+m{)}^2}{2+t+m}=\frac{2^2-(t+m{)}^2}{2+t+m} \\ =\frac{(2-(t+m\left)\right)(2+(t+m\left)\right)}{2+t+m}=\frac{(2-t-m)\cancel{(2+t+m)}}{\cancel{(2+t+m)}}=2-t-m \end{gathered}$$

Svar: $2-t-m$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Visa att talet $4^{200}+4^{201}+4^{202}$ är delbart med 7.

Lösning:

 $$\begin{gathered} 4^{200}+4^{201}+4^{202}=4^{200}·1+4^{200}·4^1+4^{200}·4^2=4^{200}(1+4+4^2) \\ =4^{200}(1+4+16)=4^{200}·21=4^{200}·3·7 \end{gathered}$$

Vilket gör medför att: $\frac{4^{200}+4^{201}+4^{202}}{7}=\frac{4^{200}·3·\cancel{7}}{\cancel{7}}=4^{200}·3 \mathrm{V}.\mathrm{S}.\mathrm{V}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Förenkla $\frac{3x-15}{x^2-2x-15}$

Lösning: Om kallar att $g\left(x\right)=3x-15$ och $h\left(x\right)=x^2-2x-15$ detta ger: $f\left(x\right)=\frac{3x-15}{x^2-2x-15}=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$

Börjar med att faktorisera $g\left(x\right)=3x-15=3(x-5)$

För att faktorisera $h\left(x\right)$ kan vi t.ex. lösa ekvationen $h\left(x\right)=0\iff x^2-2x-15=0\iff x=1\pm \sqrt{16}=1\pm 4\iff x_1=5 , x_2=-3$. Vilket gör att $h\left(x\right)=(x-5)(x+3)$

$f\left(x\right)=\frac{3x-15}{x^2-2x-15}=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}=\frac{3\cancel{(x-5)}}{\cancel{(x-5)}(x+3)}=\frac{3}{x+3}$

Svar: $\frac{3}{x+3}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Lös ekvationen $\sqrt{x-4}=4-x$

Lösning: 

$$\begin{gathered} \sqrt{x-4}=4-x\iff x-4=(4-x{)}^2\iff x-4=16-8x+x^2\iff x^2-9x+20=0 \\ \iff x=\frac{9}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2-20}=\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{81}{4}-\frac{80}{4}}=\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{9}{2}\pm \frac{1}{2} \\ \iff x_1=5 , x_2=4 \end{gathered}$$

Kontrollering av lösningarna:

 $$\begin{gathered} x=5\Rightarrow \mathrm{VL}=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1 \\ x=5\Rightarrow \mathrm{HL}=4-5=-1 \\ 1\ne -1\iff \mathrm{VL}\ne \mathrm{HL} \end{gathered}$$ 

Det säger oss att $x=5$ är en falsk rot och inte är en lösning till vår ekvation.

$$\begin{gathered} x=4\Rightarrow \mathrm{VL}=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0 \\ x=4\Rightarrow \mathrm{HL}=4-4=0 \\ 0=0\iff \mathrm{VL}=\mathrm{HL} , \mathrm{OK}! \end{gathered}$$

Svar: $x=4$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Anta att $q\left(x\right)$ är ett polynom av grad 3. Punkterna $(0,4)$ och $(2,4)$ ligger på grafen. -4 och 1 är nollställen till $q\left(x\right)$. Bestäm polynomets nollställen.

Lösning: $q\left(x\right)=k(x+4)(x-1)(x-t)$ , där $k$ är en konstant och $t$ är det tredje nollstället.

Vi vet att: $q\left(0\right)=4\iff 1=k(0+4)(0-1)(0-t)\iff 4=k·4·(-1)·(-t)\iff 4=4kt\iff 1=kt$

Vi vet även att:

 $$\begin{gathered} q\left(2\right)=4\iff 4=k(2+4)(2-1)(2-t)\iff 4=k·6·1(2-t)\iff 4=6k(2-t)\iff 4=12k-6kt \\ \iff 4=12k-6\iff 10=12k\iff k=\frac{5}{6} \end{gathered}$$

$1=kt\Rightarrow 1=\frac{5}{6}t\iff t=\frac{6}{5}$

Svar: Polynomet har nollställena $-4, 1$ och $\frac{6}{5}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Bestäm konstanterna $a$, $b$ och $c$ för funktionen $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$. Om funktionen har nollställena

• $f\left(1\right)=0$
• $f(-3)=0$
• $f\left(5\right)=0$

Lösning: Vi vet att $f\left(x\right)=k(x-1)(x+3)(x-5)$ och att $k=1$ eftersom koefficienten framför $x^3$ är lika med ett.

Det gör att funktionen:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=(x-1)(x+3)(x-5)=(x^2+3x-x-3)(x-5)=(x^2+2x-3)(x-5) \\ =x^3-5x^2+2x^2-10x-3x+15=x^3-3x^2-13x+15 \end{gathered}$$

Eftersom:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=f\left(x\right)\iff x^3-3x^2-13x+15=x^3+a{x}^2+bx+c \\ \Rightarrow a=-3 , b=-13 , c=15 \end{gathered}$$

Svar: $a=-3 , b=-13 , c=15$

Skriven av: Uppgiften kommer från användaren Korra. Lösningsförslaget är skrivet av Jonis10.