Uppgiftsbank-Matematik 3-Integraler

Nivå: E

Uppgift: Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f\left(x\right)=15x^4+6x-2$

Lösning: $F\left(x\right)=\int \left(15x^4+6x-2\right)dx=\frac{15}{5}{x}^5+\frac{6}{2}{x}^2-2x+C=3x^5+3x^2-2x+C$, där $C$ är en konstant.

För att kontrollera att svaret är korrekt ska $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ gälla, vi kollar: $F\text{'}\left(x\right)=5·3x^4+2·3x-2=15x^4+6x-2=f\left(x\right)$.

Svar: $F\left(x\right)=3x^5+3x^2-2x+C$

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: Integralen ${\int }_{-2}^7(3m-15)dm$ är given

a) Vilken är den övre integrationsgränsen? 

b) Vilka är integrationsvariabeln?

Lösning: 

a) Den övre integrationsgräsen motsvarar talet som är markerat i blått: ${\int }_{-2}^7(3m-15)dm$, vilket motsvarar 7. Svar: 7

b) Integrationsvariabeln är markerat i rött: se a) vilket motsvarar $m$. Svar: $m$

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: Anta att en befolkning $B$ miljoner ökar med hastigheten $B\text{'}\left(t\right)=0,4e^{0,08t}$, där $t$ är antal år efter 2018.

a) Bestäm $B\left(t\right)$ om befolkningen var 15 miljoner år 2018.

b) Med hur många invånare ökar befolkningen mellan 2018 och 2020.

Lösning:

a) $B\left(t\right)=\int 0,4e^{0,08t}dt=\frac{0,4}{0,08}{e}^{0,08t}+C=5e^{0,08t}+C$, där $B\left(0\right)=15\Rightarrow 15=5e^{0,08·0}+C\iff C=10\Rightarrow B\left(t\right)=5e^{0,08}+10$

Svar: $B\left(t\right)=5e^{0,08}+10$

b) Befolkningsökningen mellan 2018 och 2020 kan beräknas följande:

${\int }_0^{2}B\text{'}\left(t\right)dt={\left[5e^{0,08t}\right]}_0^2=5e^{0,08·2}-5e^{0,08·0}\approx 0,87$

Svar: Ca 0,87 miljoner

Skriven av: Jonis10

Nivå: E

Uppgift: Beräkna integralen ${\int }_2^4(4x+3x^2)dx$

Lösning: ${\int }_2^4(4x+3x^2)dx={\left[\frac{4}{2}{x}^2+\frac{3}{3}{x}^3\right]}_2^4={\left[2x^2+x^3\right]}_2^4=2·4^2+4^3-(2·2^2+2^3)=80$

Svar: 80

Skriven av: Jonis10

Nivå E:

Uppgift: Ange alla primitiva funktioner $H$ till $h\left(x\right)=4x-1$

Lösning: $H\left(x\right)=\int (4x-1)dx=\frac{4}{2}{x}^2-x+C=2x^2-x+C$, där $C$ är en konstant.

För att kontrollera att de är korrekt ska $H\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right)$ gälla. Vi kollar: $H\text{'}\left(x\right)=2·2x-1=4x-1=h\left(x\right)$.

Svar: $H\left(x\right)=2x^2-x+C$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Funktionen $g\left(x\right)=3+\sqrt{x}$. Bestäm den primitiva funktionen som uppfyller villkoret $G\left(0\right)=1$ och beräkna $G\left(4\right)$.

Lösning: $G\left(x\right)=\int \left(3+\sqrt{x}\right)dx=3x+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C$, där $G\left(0\right)=1\Rightarrow 1=3·0+\frac{2·0·\sqrt{0}}{3}+C\iff C=1$. 

Det ger att $G\left(4\right)=3·4+\frac{2·4\sqrt{4}}{3}+1=18+\frac{1}{3}=\frac{55}{3}$.

Svar: $G\left(4\right)=\frac{55}{3}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Bestäm konstanten $k$ så att ${\int }_{-2}^2(k+4x)dx=8$

Lösning:

 $VL={\int }_{-2}^2(k+4x)dx={\left[kx+2x^2\right]}_{-2}^2=2k+8-(-2k+8)=4k$

$VL=HL\Rightarrow 4k=8\iff k=2$

Svar: $k=2$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: För en funktion $t$ har egenskaperna att $t\text{'}\left(x\right)=-1$ och ${\int }_0^{4}t\left(x\right)dx=5$. Bestäm $t\left(x\right)$.

Lösning: 

$t\left(x\right)=\int t\text{'}\left(x\right)dx=\int -1dx=-x+C$, där $C$ är en konstant. Detta medför att:$$\begin{gathered} {\int }_0^{4}t\left(x\right)dx=5\iff {\int }_0^4(-x+C)dx=5\iff {\left[-\frac{x^2}{2}+Cx\right]}_0^4=5\iff -\frac{4^2}{2}+C·4=5 \\ \iff -8+4C=5\iff C=\frac{13}{4} \end{gathered}$$

Svar: $t\left(x\right)=-x+\frac{13}{4}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: 

Figuren visar grafen till en funktion $F$ det vill säga en primitiva funktionen till $f$.  Bestäm ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)$

Lösning: ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)dx=F\left(1\right)-F(-2)=4-1=3$, Svar: 3

Skriven av: Jonis10

Nivå: C

Uppgift: Bestäm en primitiv funktion $F$ till $f\left(x\right)=\frac{4x+x^3}{x^3}$

Lösning: $F\left(x\right)=\int \left(\frac{4x+x^3}{x^3}\right)dx=\int \left(4x^{-2}+1\right)dx=\frac{4}{-1}{x}^{-1}+x+C=-\frac{4}{x}+x+C$, låt t.ex. $C=0\Rightarrow F\left(x\right)=-\frac{4}{x}+x$

Svar: T.ex. $F\left(x\right)=x-\frac{4}{x}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: För en funktion $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ där $x>0$. I en punkt Q som ligger på kurvan är en tangent dragen. Tangenten bildar tillsammans med de positiva koordinataxlarna och punkten Q en parallelltapets. Bestäm punktens Q:s x-koordinat så att arean blir 0,5 a.e. 

Lösning: Anta att punkten Q har koordinaterna $(a,f(a\left)\right)\iff (a,\frac{1}{a^2})$ där $a>0$.

$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}\Rightarrow f\text{'}\left(a\right)=-\frac{2}{a^3}$ vilket motsvarar lutningen för tangenten. Tangentens ekvation blir då: $y-\frac{1}{a^2}=-\frac{2}{a^3}(x-a)\iff y=-\frac{2}{a^3}x+\frac{3}{a^2}$.

Där efter går det att ställa upp ekvationen:$$\begin{gathered} {\int }_0^a(-\frac{2}{a^3}x+\frac{3}{a^2})dx=0,5\iff {\left[-\frac{x^2}{a^3}+\frac{3}{a^2}x\right]}_0^a=0,5\iff -\frac{a^2}{a^3}+\frac{3a}{a^2}=0,5 \\ \iff 2a^2=a^{3}0,5\iff a^2(\frac{a}{2}-2)=0\iff a_1=4 , \left(a_2=0\right) \end{gathered}$$

Svar: Punktens Q:s x-koordinat är $x=4$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Jonathan kör med hastigheten 90 km/h när han plötsligt ser sin fysik lärare 90 meter bort som är på väg över gatan. Hur mycket ska hastigheten minska per sekund så att han inte precis så kör sin lärare.

Lösning: Anta att retardation är $a \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ det ger att $v\left(t\right)=\frac{90}{3,6}-at=25-at \mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hastigheten när han stannar är måste vara noll vilket ger efter tiden: $v\left(t\right)=0\iff 0=25-at\iff t=\frac{25}{a}$.

Detta ger ekvationen:

 $$\begin{gathered} 90={\int }_0^{\frac{25}{a}}(25-at)dt={\left[25t-\frac{a}{2}{t}^2\right]}_0^{\frac{25}{a}}=\frac{{25}^2}{a}-\frac{{25}^{2}a}{2a^2}=\frac{2·{25}^{2}a-{25}^{2}a}{2a^2}=\frac{{25}^2}{2a} \\ \iff 90=\frac{{25}^2}{2a}\iff a=\frac{{25}^2}{2·90}\approx 3,5 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2 \end{gathered}$$

Svar: Hastigheten ska minska med $3,5 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Kurvan $y=2x-x^2$ innesluter tillsammans med x-axeln ett område. Hur stor andel av områdets area kan triangeln högst uppta? 

Lösning: För att börja med att vi ta fram nollställena för kurvan $y=2x-x^2$. $y=0\iff 0=2x-x^{2\iff }x\left(2-x\right)=0\iff x_1=2 , x_2=0$. 

Arean som kurvan $y=2x-x^2$ innesluter är detsamma som: $A_1={\int }_0^2\left(2x-x^2\right)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{4}{3}$ a.e.

I bilden ovan syns en rätvinklig triangeln om triangelns vänstra hörn på x-axeln har koordinaten $(a,y(a\left)\right)\iff (a,2a-a^2)$ där $a>0$. Basen på den rätvinkliga triangeln är då det samma som  $b=2-a$ och höjden $h=2a-a^2$.

Detta ger att: $A(a{)}_2=\frac{bh}{2}=\frac{(2-a)(2a-a^2)}{2}=\frac{a(2-a{)}^2}{2}=\frac{4a-4a^2+a^3}{2}=2a-2a^2+0,5a^3$

$A(a{)}_2=2a-2a^2+0,5a^3\Rightarrow A\text{'}(a{)}_2=2-4a+1,5a^2\Rightarrow A\text{'}\text{'}(a{)}_2=-4+3a^2$

Nu söker vi den maximala arean:

$A\text{'}(a{)}_2=0\iff 2-4a+1,5a^2=0\iff a_1=2 , a_2=\frac{2}{3}$

$A\text{'}\text{'}(2{)}_2=-4+3·2^2>0$ (minimipunkt)

$A\text{'}\text{'}(\frac{2}{3}{)}_2=-4+3·{\left(\frac{2}{3}\right)}^2<0$ (maximipunkt)

$A_2=A(\frac{2}{3}{)}_2=\frac{1}{2}·\frac{2}{3}(2-\frac{2}{3}{)}^2=\frac{1}{3}(\frac{4}{3}{)}^2=\frac{4^2}{3^3}$ a.e.

Förhållandet: $\frac{A_2}{A_1}=\frac{4^2}{3^3}·\frac{3}{4}=\frac{4}{9}$

Svar: $\frac{4}{9}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Bestäm $a$ så att uttrycket ${\int }_a^{\infty }\frac{dx}{x^3}+a^2$ där $a>0$ blir så litet som möjligt.

Lösning:

 $f\left(a\right)={\int }_a^{\infty }\frac{dx}{x^3}+a^2={\left[-\frac{1}{2x^2}\right]}_a^{\infty }+a^2=\underset{x\to \infty }{\lim }-\frac{1}{2x^2}-(-\frac{1}{2a^2})+a^2=a^2+\frac{1}{2a^2}$

$f\text{'}\left(a\right)=2a-\frac{1}{a^3}$, $f\text{'}\left(a\right)=0\iff 2a-\frac{1}{a^3}=0\iff a={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}$

$f\text{'}\text{'}\left(a\right)=2+\frac{3}{a^4}\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right)=2+\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}>0$ (minimipunkt)

Svar: $a={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}$

Skriven av: Jonis10

Nivå: A

Uppgift: Bilden visar grafen för $y=x^n$ där $n>1$. Längden för hjälplinjerna är 1 l.e. Bestäm förhållande mellan areorna $A_1$ och $A_2$.

Lösning: Om bredden på rektangeln är 1 l.e. medför det att höjden är $y\left(1\right)=1^n=1$ dvs en kvadrat.

Detta ger att $A_1={\int }_0^1{x}^{n}dx={\left[\frac{x^n}{n+1}\right]}_0^1=\frac{1}{n+1}$ a.e.

Arean av rektangeln ges av $A_{rek}=bh=1·1=1$, det med för att $A_2=A_{rek}-A_1=1-\frac{a^n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Det ger förhållandet: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{n+1}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{{\displaystyle \frac{n}{n+1}}}=\frac{1}{n}$

Svar: $\frac{1}{n}$

Skriven av: Jonis10 , notering: för den som vill undersöka lite mer kan sätta bredden till t.ex. $a$ l.e. och undersöka vad som händer med förhållande då.