Uppgiftsbank-Matematik 3-Derivata
Tanken med denna tråd är att ni ska kunna använda följande uppgifter för att träna och repetera era kunskaper inom momentet "Derivata" i matematik 3 kursen på gymnasiet. Därför har jag skapat en uppgiftsbank med varierande uppgifter från E till A-nivå. Om ni själva skulle vilja dela med er av uppgifter så får ni gärna bygga vidare på uppgiftsbanken inom momentet "Derivata". Kommentarer och inlägg som inte följer instruktionerna bör postas i en separat tråd eller skickas via PM. Detta för att göra tråden mer lättläst och mindre stökig.
Skulle ni hitta några fel eller liknande kan ni kontakta mig via PM här.
Tips: När du läser frågorna, scrolla så att frågan är längst ned på skärmen. Gör först ett eget försök att lösa uppgiften, innan du läser lösningsförslaget.
Min tanke är att strukturen på en post ska se ut som följande:
Nivå: (E, C eller A)
Uppgift: Här skriver du uppgiftens innehåll och fråga/frågor.
Lösning: Här skriver du lösningen till frågan/frågorna.
Skriven av: Inget jag anser måste vara med, men endast om man vill refererar till vem som är uppgiftsskaparen eller var uppgiften kommer ifrån.
Tråden klistrad av Teraeagle, moderator.
Nivå: E
Uppgift: Den vägsträcka meter som en bil har rört sig på tiden sekunder ges av sambandet . Beräkna och tolka med ord.
a)
b)
Lösning:
a) m , Svar: Bilen har rört sig en sträcka av 110 meter på 5 sekunder.
b) m/s, Svar: Bilen har en hastighet på 42 m/s vid 5 sekunder.
Skriven av: Jonis10
Nivå: E
Uppgift: Bestäm ekvationen för tangenten till funktionen i punkten .
Lösning: , tangenten kan skrivas på formen där vilket ger .
Vi vet också att linjen går igenom punkten vilket ger
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: E
Uppgift: Bestäm om
a)
b)
c)
Lösning:
a) , Svar:
b) , Svar:
c) Derivatan av en konstant är alltid noll , Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: E
Uppgift: Grafen till har en maximipunkt. Bestäm maximipunktens koordinater.
Lösning: , en egenskap som gäller för en extrempunkt det är att lutningen är noll dvs .
, eftersom är det en minimipunkt.
, eftersom är det en maximipunkt.
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: E
Uppgift: Bestäm med hjälp av derivata rektangelns maximala area.
Lösning: Arean för en rektangel är det samma som: , där är basen och är höjden.
Eftersom arean beror av variabeln kan vi ska en funktion som beskriver arean för rektangeln.
, det är en maximipunkt.
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: C
Uppgift: Bestäm den funktion där är en konstant, för vilken det gäller att .
Lösning: , eftersom:
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: C
Uppgift: Två tangenter till skär varandra i en punkt och tangenterna tangerar kurvan då och då . Bestäm skärningspunktens koordinater.
Lösning:
Tangenten då :
Vilket ger linjen: ,
Tangenten då :
Vilket ger linjen: ,
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: C
Uppgift: Bestäm då
Lösning:
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: C
Uppgift: Kapitalet på Yngves bankkonto växer enligt , där är värdet i kronor efter år.
a) Hur stor är räntesatsen?
b) Beräkna och förklara innebörden av din beräkning.
Lösning:
a) I detta fallet frågas det efter förändringsfaktor vilket lika med dvs en räntesats på , Svar: 1,8%.
b) kr/år
Svar: Efter 5 år ökar/växer Yngves pengar med 232 kr/år.
Nivå: C
Uppgift: Bestäm största och minsta värdet för då: ,
Lösning:
lösningen är inte intressant eftersom vi undersöker i intervallet
, vilket säger att det är en minimipunkt.
Vi måste även undersöka ändpunkterna på intervallet vilket ger:
Svar: Största värdet: 31 , Minsta värdet: -13
Skriven av: Jonis10
Nivå: A
Uppgift: Funktionen uppfyller följande två villkor och . Vilka värden kan anta?
Lösning: Då och går igenom punkten det ger:
Då och går igenom punkten det ger:
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: A
Uppgift: Visa med hjälp av derivatans definition vad derivatan till blir.
Lösning:
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: A
Uppgift: Visa algebraiskt att
Lösning: Om t.ex. så blir olikheten . För att kunna visa det behöver vi ta fram det minsta värdet funktionen kan anta.
,
, då vilket säger att det är en minimipunkt.
Vilket ger att det minsta värdet funktionen kan anta är . Vilket gör att
Skriven av: Jonis10
Nivå: A
Uppgift: Bestäm då
Lösning: , eftersom för alla så medför det att
Svar:
Skriven av: Jonis10
Nivå: A
Uppgift: En skål har formen av en rak cirkulär cylinder. Basytans radie och cylinderns höjd ska tillsammans ha längden 50 cm. Vilka dimensioner ska skålen ha för att få maximal volym?
Lösning: Om vi kallar radien för och höjden för ger det oss att: .
Volymen för en cirkulär cylinder är:
vilket säger att det är en maximipunkt. Då
Svar: Då höjden är 17 cm och radien 33 cm
Skriven av: Jonis10
Kan denna uppgiftsbank uppdateras? Jätte användbart!
Iridiumjon skrev:Kan denna uppgiftsbank uppdateras? Jätte användbart!
Håller med