Uppgifter (Definitionsmängd/funktionslära)

mattesnubben skrev:

h(x) = f(-7x/6)

Ja, det stämmer

h(x)=cos(pi*(-7x/6)) 

Du glömmer faktorn 2/5 och konstanttermen 5.

=======

Och välkommen till Pluggakuten!

Varför byter du till $f(x)=\cos(\pi x)$?

SaintVenant skrev:

Varför byter du till $f(x)=\cos(\pi x)$?

Tror jag tittade lite för mycket på någon som haft en liknande uppgift med helt andra siffror och variabler. Behöver nog göra om från början men förstår inte hur man skall tänka så vet ej vart jag ska börja.

Om du har att $f(x) = x^2$ och $g(x) = \tan(3 x)$ vad blir då $h(x)=f(g(x))$? Om du inte vet ska du inte gissa utan skriv då att du inte vet.

SaintVenant skrev:

Om du har att $f(x) = x^2$ och $g(x) = \tan(3 x)$ vad blir då $h(x)=f(g(x))$? Om du inte vet ska du inte gissa utan skriv då att du inte vet.

Tack för svar. Vad får du tan(3x) ifrån? Eftersom g(x) = tan(3x) bör väl h(x) = f(g(x)) = f((tan(3x))^2). Eller tänker jag helt fel då?

mattesnubben skrev:

Tack för svar. Vad får du tan(3x) ifrån?

Jag hittade bara på en funktion.

Eftersom g(x) = tan(3x) bör väl h(x) = f(g(x)) = f((tan(3x))^2). Eller tänker jag helt fel då?

Det sista steget knasar lite. Det blir:

$f(g(x)) = f(\tan(3x)) = (\tan(3x))^2$

Alltså, i ditt fall då du ska beskriva en sammansatt funktion $f \circ g$ får du enkelt:

$h(x) = f(g(x)) = f(-7x/2)$

Frågan är nu bara vad $f(x)$ är lika med.

Hej igen!

Se mina svar nedan. Tacksam för feedback och vägledning kring 2 sista.

a) 

Vi vet att h(x) = f(g(x)). Således är h(x) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) + 5

__________________________________________________________

b) 

x = 3

h(3) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{3⋅7⋅π}{2}$) + 5

h(3) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{21π}{2}$) + 5

Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-$\frac{21π}{2}$):

sin (-$\frac{21π}{2}$) = -sin ($\frac{21π}{2}$)

-sin ($\frac{21π}{2}$) --> Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med $\frac{21π}{2}$ och får att -sin ($\frac{π}{2}$). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin ($\frac{π}{2}$) = -1.

Vidare ersätter vi med -1 och får att:

h(3) = $\frac{2}{5}$ ⋅ (-1) + 5

Multiplicering av ett positivt och ett negativt tal ger ett negativt tal:

h(3) = -$\frac{2}{5}$ + 5

Vi skriver nu om det som ett bråk och får att:

h(3) = -$\frac{2}{5}$ + $\frac{25}{5}$ = $\frac{23}{5}$

__________________________________________________________

x = 4

h(4) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{4⋅7⋅π}{2}$) + 5

Vi kan avbryta den gemensamma faktorn 2 i divisionen (-$\frac{4⋅7⋅π}{2}$) och får:

h(4) = $\frac{2}{5}$ sin (-2⋅7π) +  5

h(4) = $\frac{2}{5}$ sin (-14π) +  5

Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-14π) till -sin (14π). Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med 14π och får att -sin(0). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin(0) = -0. Eftersom 0 inte har några tecken översätter vi detta till 0.

Vidare ersätter vi med 0 och får att:

h(4) = $\frac{2}{5}$ ⋅ 0 + 5

h(4) = 0 + 5

h(4) = 5

__________________________________________________________

x = 5

h(5) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{5⋅7⋅π}{2}$) + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$sin (-$\frac{35π}{2}$) + 5

sin (-$\frac{35π}{2}$) = 1 (se nedan)

Vi utnyttjar symmetrin hos de trigonometriska funktionerna för att föenkla uttrycket sin (-$\frac{35π}{2}$) till -sin ($\frac{35π}{2}$). Nu hittar vi vinkeln i intervallet [0, 2π>, samterminal med ($\frac{35π}{2}$) och får -sin($\frac{3π}{2}$). Sedan beräknar vi uttrycket med hjälp av den trigonometriska värdetabellen och får att -sin($\frac{35π}{2}$) = -(-1). Två minustecken = plustecken, därför är -(-1) = 1.

Vidare ersätter vi med 1 och får att:

h(5) = $\frac{2}{5}$ ⋅ 1 + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$ + 5

h(5) = $\frac{2}{5}$ + $\frac{25}{5}$

h(5) = $\frac{27}{5}$

__________________________________________________________

c) 

Vi vet att h(x) representerar en sammanslagning av f(x) och g(x). Detta antyder att h(x) måste ha samma definitionsmängd som g(x) och samma målmängd som f(x). Således är definitionsmängden $ \mathbb{R}$ och målmängden [2,∞[. 

__________________________________________________________

d) 

Värdemängden för sin(v) är -1≤ sin(v) ≤1, eftersom sinus varierar mellan just -1 och 1. 

Vi ersätter v med sin (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) och får att:

-1≤ sin((-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$)) ≤1

Vidare antyder ovanstående att vi finner h:s extremvärden när (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) = -1 och (-$\frac{x⋅7⋅π}{2}$) = 1.

I uppgift b) fick vi att sin sin (-$\frac{3⋅7⋅π}{2}$) = -1 då x antog värdet 3. Vi fick även att sin (-$\frac{5⋅7⋅π}{2}$) = 1 då x antog värdet. Vi räknade också ut att h(3) = $\frac{23}{5}$ och att = h(5) = $\frac{27}{5}$.

Med andra ord är värdemängden för sin(v) = [$\frac{23}{5}$, $\frac{27}{5}$]

Lösningsförslag nedan, vet inte om det är korrekt.

e) h(2) = 2525sin (-2⋅7⋅π22⋅7⋅π2) + 5 = 5 h(4) = 2525sin (-4⋅7⋅π24⋅7⋅π2) + 5 = 5 Slutsats: h är inte en injektiv funktion eftersom både h(2) och h(4) ger samma värde, dvs 5. __________________________________________________________

f) h är inte en surjektiv funktion eftersom målmängden inte är lika med värdemängden. Värdemängd för sin(v) = [235235, 275275] Målmängden [2,∞[. Med andra ord finns det inga värden för x som kan ge h följande värden: [2,275275] och [235235, ∞[

Du måste ha dubbla dollar-tecken för att syntax ska tolkas som LaTeX Mathtype på pluggakuten. Läs mer här:

https://www.pluggakuten.se/trad/guide-till-latex-pa-pa/