Uppgift ur boken ”Calculus” som jag skulle få hjälp med att förstå. (Matematik/Matte 3/Derivata)

Ja.

Får jag bara påpeka att det är ett tredjegradspolynom och får inte heta parabel

Innan jag påbörjar uppgiften. Anses detta som en svår uppgift? Kan du Laguna eller någon annan uppskatta vad man skulle kunna få för poäng om denna eller liknande uppgift hade förekommit på prov? Ange vad du tror på sättet: E/C/A. Vad tror du? 😊

Om det hade varit NP så skulle den definitivt ge kommunikationspoäng. Den skulle även ge problemlösningspoäng.

A-fråga tycker jag

Aaa förlåt för det Qetsiyah. Parabel gäller endast för andragradare!

Jag skriver NP nu i mitten på nästa månad och jag har gjort alla uppgifter i Matematik 5000 3c och Origo 3c. Jag lånade en bok som heter Calculus där jag letar lite uppgifter också.

Jag ska lösa den nu så postar jag min lösning under dagen.

Jag har ingen aning om vad kommunikationspoäng är för nåt och inte heller uppdelningen E/C/A. Uppgiften är lite klurig, inte riktigt det vanliga mönstret, men man behöver bara det man har lärt sig i Matte 3.

vad du är duktig, har du gjort gamla NP ma3?

Tack Qetsiyah! 🌸

Det finns två NP ute för Ma3c och ett av dem har jag gjort helt och fick två slarvfel genom hela provet. Provet från HT2012 har jag endast sista delen att göra. Jag gör alltid alla uppgifter i kursboken och sen har jag en till bok som jag också gör alla uppgifter i.

Jag har ritat upp en bild av situationen och ritat in en tangent med koordinaten: (a;b). Jag inser nu att denna uppgift skiljer sig verkligen åt från det jag lärt mig och jag tappar bort mig lite... Jag tänker i alla fall såhär:

Om jag tar fram: y = 2x^3 + 13x^2 + 5x + 9 och beräknar värdet i punkten: P(a;b) till: b = 2a^3 + 13a^2 + 5a + 9. Den kommer jag troligtvis att behöva längre fram.

Om jag även tar fram derivatan så får jag: y’ = 6a^2 + 26a + 5.

Jag måste nu på något sätt ta fram ett uttryck för att tangenten faktiskt ska gå igenom (0;0). Hur gör jag det?

P(a;b): b = 2a^3 + 13a^2 + 5a + 9 är inte så väldigt användbar. Ett x-värde definierar unikt en tangent. Låt detta sökta xvärde vara x0 istället.

det är lite svårt att säga något som inte avslöjar allt samtidigt... Vad vet du om linjer som går igenom origo?

Jag har använt tidigare x med index 0 eller som du också skriver Qetsiyah x0. Jag tycker det bara blir så bökigt med det men jag kan väl byta till x0. 😊

Linjer som går genom origo har även m-värdet 0. T.ex. den räta linjens ekvation skrivs då m-värdet är 0 som y=x. Tänker du på lite sådan info?

Natascha skrev:
Jag har använt tidigare x med index 0 eller som du också skriver Qetsiyah x0. Jag tycker det bara blir så bökigt med det men jag kan väl byta till x0. 😊
Linjer som går genom origo har även m-värdet 0. T.ex. den räta linjens ekvation skrivs då m-värdet är 0 som y=x. Tänker du på lite sådan info?

Precis. Tangentens ekvation då x = a ges av...

Visa spoiler

y - f(a) = f’(a)(x - a). Eller om man så vill y = f’(a)x + f(a) - af’(a). Vad är m här? För vilka a blir m noll?

Intressant inlägg PATENTERAMERA! Jag har bara lite svårt att förstå hur tangentens ekvation blir: $y - f (a) = f' (a) (x - a)$ ? Jag begriper inte det riktigt... Jag måste även tillägga att jag aldrig sett att man kan skriva en tangents ekvation på det sättet... Det kanske är därför som jag inte förstår.

Vad är: $y$ ?
Vad är: $f (a)$ ?
Vad är: $f' (a)$ ?
Var kommer $(x - a)$ ifrån?

Jag måste begripa alla dessa för att förstå vad det är jag håller på med samt hitta m-värdet.

Natascha skrev:
Intressant inlägg PATENTERAMERA! Jag har bara lite svårt att förstå hur tangentens ekvation blir: $y - f (a) = f' (a) (x - a)$ ? Jag begriper inte det riktigt... Jag måste även tillägga att jag aldrig sett att man kan skriva en tangents ekvation på det sättet... Det kanske är därför som jag inte förstår.

Vad är: $y$ ?
Vad är: $f (a)$ ?
Vad är: $f' (a)$ ?
Var kommer $(x - a)$ ifrån?

Jag måste begripa alla dessa för att förstå vad det är jag håller på med samt hitta m-värdet.

f(x) är den polynomfunktion som är given i problemet. Du kallar den f(x) själv i din figur.

Säg att du vill hitta ekvationen för den tangent till kurvan y = f(x) som går genom punkten (a, f(a)). Tangenten har en ekvation y = kx +m, denna linje skall ha samma lutning som kurvan y = f(x) har då x = a, vilket vi uppnår om k = f’(a) (dvs derivatan av f i punkten a). Vidare måste tangentlinjen gå genom punkten (a, f(a)), dvs f(a) = f’(a)a + m, vilket ger m = f(a) -f’(a)a.

Så tangentens ekvation blir y = f’(a)x + f(a) - f’(a)a. Vilket vi även kan skriva y - f(a) = f’(a)(x - a).

Du kan även titta på Jonas Månssons härledning på youtube.

https://m.youtube.com/watch?v=2dbIOtonmoA

Ditt föregående svar PATENTERAMERA var verkligen tydligt. Jag hann bara inte ta mig an uppgiften. Hade andra skoluppgifter som behövde gå före. Jag ska lösa den idag. Jag menar, nu har jag verkligen all info som krävs! 😀

PATENTERAMERA skrev:
Natascha skrev:
Intressant inlägg PATENTERAMERA! Jag har bara lite svårt att förstå hur tangentens ekvation blir: $y - f (a) = f' (a) (x - a)$ ? Jag begriper inte det riktigt... Jag måste även tillägga att jag aldrig sett att man kan skriva en tangents ekvation på det sättet... Det kanske är därför som jag inte förstår.

Vad är: $y$ ?
Vad är: $f (a)$ ?
Vad är: $f' (a)$ ?
Var kommer $(x - a)$ ifrån?

Jag måste begripa alla dessa för att förstå vad det är jag håller på med samt hitta m-värdet.
f(x) är den polynomfunktion som är given i problemet. Du kallar den f(x) själv i din figur.
Säg att du vill hitta ekvationen för den tangent till kurvan y = f(x) som går genom punkten (a, f(a)). Tangenten har en ekvation y = kx +m, denna linje skall ha samma lutning som kurvan y = f(x) har då x = a, vilket vi uppnår om k = f’(a) (dvs derivatan av f i punkten a). Vidare måste tangentlinjen gå genom punkten (a, f(a)), dvs f(a) = f’(a)a + m, vilket ger m = f(a) -f’(a)a.
Så tangentens ekvation blir y = f’(a)x + f(a) - f’(a)a. Vilket vi även kan skriva y - f(a) = f’(a)(x - a).

Fint förklarat. Ett exemplariskt inlägg på hur förklaringar ska gå till, enligt mig!

Problemet är att vi inte har någon punkt att börja med. Den enda vi har är (0 , 0) för k

Skriver man in grafen i en grafräknare så kan man få till en ekvation y = 28X för k, men hur kan man räkna fram den utan att känna till tangentpunkten? Dessutom är det svårt att se om det är exakt 28X på räknaren.

Videon som det refererades till var bra, men i exemplet hade man en bestämd punkt och y = X² som exempel och då är det snarast ett nybörjarexempel.

Det är mycket möjligt att jag inte fullt ut förstår Patenterameras förklaring, men utan en punkt att utgå från verkar det att vara lite svårare än matte 3C?

Nu har jag med mina matte-3c kunskaper i bagaget kommit fram till följande:

1) Vi har en funktion $y = 2 x^{3} + 13 x^{2} + 5 x + 9$

2) Uppdraget är att hitta en tangent till funktionen som passerar origo.

3) Vi kallar x-värdet för tangenten på kurvan som uppfyller villkoret för $a$
då är y-värdet f(a) eller y(a) om man så vill.

4) Vi har ekvationen $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ där punkten (x₁, y₁) = (0, 0) dvs. i origo.
$y_{2} = y (a) o c h x_{2} = a$ så $k = \frac{y (a)}{a}$ och sätter vi in det så får vi $k = \frac{2 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 9}{a} = 2 a^{2} + 13 a + 5 + \frac{9}{a}$

5) Vi vet också att den lutning derivatan y´(a) har när x = a är detsamma som k.
$y ´ (a) = 6 a^{2} + 26 x + 5$

6) Då kan vi sätta ihop de två ekvationerna så här $2 a^{2} + 13 a + 5 + \frac{9}{a} = 6 a^{2} + 26 x + 5$
vilket ger $4 a^{2} + 13 a - \frac{9}{a} = 0$ den klarar jag inte att lösa vilket jag kanske borde kunna? Grafräknaren får bli min hjälp och den ger mig ett värde på a = 0,75 vilket verkar rimligt.

7) Koll av k för bägge ekvationerna visar 27,875 så det verkar vara riktigt.

8) Ekvationen för tangenten blir då $y = 27, 875 x + m o c h m = 0 s å k v a r b l i r y = 27, 875 x$

Alla kommentarer mottages tacksamt och det skulle vara mycket roligt att höra vad du Natascha tänker om det hela.

Ett tack till Patenteramera också, men jag är orolig för att jag kanske inte följt dina ledtrådar i den riktning du tänkt?

Det finns även tangenter för a=-1 och a=-3 som går igenom origo.

joculator skrev:
Det finns även tangenter för a=-1 och a=-3 som går igenom origo.

Nja är du säker på det. Har du kollat på hur ursprungsgrafen ser ut?

Om vi tar hjälp av matte4-nivå så kan vi komma ytterligare ett steg.

I 6) ovan skriver jag att ekvationen $4 a^{2} + 13 a - \frac{9}{a} = 0$ kan jag inte lösa,
men vi kan förlänga bägge sidor med $a$ och får då $4 a^{3} + 13 a^{2} - 9 = 0$

Det Joculator skrev om de två andra rötterna $a = - 1 o c h a = - 3$ gav mig en idé som jag läst i "Matematik för ingenjörer" att om vi kan gissa en rot som i det här fallet -1 som kanske inte är så svår att gissa i vår ekvation, så kan man göra en polynomdivision.

Dvs. dela $4 a^{3} + 13 a - \frac{9}{a} m e d a + 1$ (roten -1 kan användas i en faktor (x - x₁) alltså (a - (-0,1))

Då får vi två faktorer $(a + 1) (4 a^{2} + 9 a - 9) = 0$

Faktorn $(4 a^{2} + 9 a - 9)$ kan vi sedan använda PQ-formeln på för att få ut våra två andra rötter -3 och +0,75

Vid studie av vår ursprungsformel $y = 2 x^{3} + 13 x^{2} + 5 x + 9$ så ser vi att den enda användbara roten är 0,75.

Joculator har rätt.

Aha där ser man.
Tack 😊

ConnyN, din lösning var ju helt rätt! Hur kom det sig att du bestämde dig för att -1 och -3 inte var lösningar?

Och dessutom, jag skulle inte heller kunna lösa den här uppgiften med enbart sådant man lär sig i matte 3. Man behöver kunna lösa tredjegradsekvationen, och uppgiften är ganska tydligt upplagd för "gissa en rot + polynomdivision"-metoden!

SvanteR skrev:
ConnyN, din lösning var ju helt rätt! Hur kom det sig att du bestämde dig för att -1 och -3 inte var lösningar?

Och dessutom, jag skulle inte heller kunna lösa den här uppgiften med enbart sådant man lär sig i matte 3. Man behöver kunna lösa tredjegradsekvationen, och uppgiften är ganska tydligt upplagd för "gissa en rot + polynomdivision"-metoden!

Tack för återkopplingen det var skönt att höra.
Jag fick för mig att en tangent bara får vidröra kurvan en gång annars är det en sekant, men man kanske mer måste tänka på till vilket ändamål den används.

Edit: Det blir ganska tydligt i Firebirds fina bild att en tangent kan korsa kurvan två gånger. Så tack för den fina bilden.

Det är helt tillåtet för en tangent att korsa kurvan någonannanstans än just där den tangerar kurvan.

ConnyN skrev:

Tack för återkopplingen det var skönt att höra.
Jag fick för mig att en tangent bara får vidröra kurvan en gång annars är det en sekant, men man kanske mer måste tänka på till vilket ändamål den används.
[...]

En tangent kan även vara en sekant.

En sekant kan även vara en tangent.

ConnyN skrev:
Jag fick för mig att en tangent bara får vidröra kurvan en gång annars är det en sekant, men man kanske mer måste tänka på till vilket ändamål den används.
Edit: Det blir ganska tydligt i Firebirds fina bild att en tangent kan korsa kurvan två gånger. Så tack för den fina bilden.

Även den din lösning skär kurvan 2 ggr. Se på x=-8

joculator skrev:
ConnyN skrev:
Jag fick för mig att en tangent bara får vidröra kurvan en gång annars är det en sekant, men man kanske mer måste tänka på till vilket ändamål den används.
Edit: Det blir ganska tydligt i Firebirds fina bild att en tangent kan korsa kurvan två gånger. Så tack för den fina bilden.
Även den din lösning skär kurvan 2 ggr. Se på x=-8

Vi kan väl vara vänner ändå?

Fin hund.