Uppgift på diskret stokastisk variabel

Hej! Jag har en uppgift som lyder: "Five cards are drawn at random from a deck of cards. Let X be the number of aces. Find the pmf (frekvensfunktionen, här betecknad p(x)) of X if the cards are drawn with replacement."

Jag löser uppgiften enligt följande:

Jag låter min stokastiska variabel $X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ och väljer att först helt enkelt studera fallet p(0),p(1),...,p(5) för att förhoppningsvis kunna urskilja ett mönster.

Jag räknar på och det gäller att $p (0) = P (X = 0) = {(\frac{48}{52})}^{5}$

$p (1) = P (X = 1) = \frac{1}{13} {(\frac{48}{52})}^{4}$

$p (2) = P (X = 2) = {(\frac{1}{13})}^{2} {(\frac{48}{52})}^{3}$ och så vidare. Tills slut så vill jag hävda att den allmänna formeln för p(k) ges av $p (k) = P (X = k) = {(\frac{1}{13})}^{k} {(\frac{48}{52})}^{5 - k} \forall k = {0, 1, 2, . . ., 5}$

Svaret är nästan rätt, förutom att de i facit valt att ta med en faktor $(\begin{matrix} 5 \\ k \end{matrix})$ i den färdiga formeln. Är det någon som kan förklara för mig varför jag tänker fel?

Mvh!

När du använder multiplikationsprincipen gör du val i sekvens och man måste vara uppmärksam på att ordningen man gör val också är något man måste ta hänsyn till.

$\frac{1}{13} \frac{48}{52} \frac{48}{52} \frac{48}{52} \frac{48}{52}$

läst från vänster till höger representerar sannolikheten att första kortet man drar är ett ess och de fyra efterföljande korten man drar inte är ess.

$\frac{48}{52}\frac{1}{13} \frac{48}{52} \frac{48}{52} \frac{48}{52}$

representerar att endast det andra kortet man drar är ett ess.

$\frac{48}{52} \frac{48}{52}\frac{1}{13} \frac{48}{52} \frac{48}{52}$

att det tredje är ett ess, osv. även med ess på 4:e dragningen eller 5:e dragningen.

Alla dessa sannolikheter är lika med samma tal

$\frac{1}{13} \left ( \frac{48}{52}\right )^4$

men det fanns alltså egentligen 5 olika sätt att få 5 kort med endast ett ess så sannolikheten att få exakt ett ess via något av dessa sätt är

$5 \frac{1}{13} \left ( \frac{48}{52}\right )^4 = {5 \choose 1}\frac{1}{13} \left ( \frac{48}{52}\right )^4$

En liknande korrektion med att ta hänsyn var i sekvensen man får sina ess behöver göras för de andra också.

Hej! Okej tack för svar!

Svara