Uppgift om sannolikhet

Hej!

Jag råkade publicera två frågor i samma tråd tidigare, så jag lägger upp denna separat.
Jag lyckas inte riktigt komma på hur jag ska tänka med lösningen på denna fråga, och jag skulle bli superglad om någon kunde hjälpa mig lite på traven!

En person ska sätta skapa en brännbollsplan för att kunna träna inför den årliga, prestigefyllda cupen och funderar därför på hur man bäst uppskattar 28 meter. Av erfarenhet vet han att hans steglängd, X, har väntevärde 0,7 meter och standardavvikelse 0,03 meter.

Han väljer mellan dessa metoder:

1) Metod 1: han bryter av en pinne som är lika lång som hans första steg. Pinnen används sedan som måttstock för att mäta upp 28 meter. Längden på planen blir med denna metod 𝐿1=40X.
2) Metod 2: mät upp planen genom att gå 40 steg. Du kan betrakta steglängderna för de 40 stegen som oberoende. Längden på planen blir med denna metod 𝐿2 = 𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋40.

a) Beräkna väntevärde och standardavvikelse för de två metoderna.

b) Vilken av de två metoderna skulle du föredra? Motivera svaret.

Stort tack på förhand!

Du får använda vissa egenskaper för väntevärden och varianser (av oberoende variabler).

Börja med det första väntevärdet. Vad blir det?

$E(L_1)=E(40X)=\ldots$

Jag känner mig lite lost om jag ska vara ärlig, blir väntevärdet 28 för dem båda? Jag tänker att metod 1 borde ge:

E(40X) = E(X)*40 = 28

Tänker jag rätt? Och blir det samma med metod 2, fast istället

0,7+0,7+...+0,7 = 28 <=> 0,7*40 = 28?

Ja, väntevärdet blir 28 för båda, men hur blir det med varianserna?

Okej vad bra, tack!

Jag vet inte hur jag ska tänka kring varianserna.

Metod 1 bör ha varians = 0 eftersom var steg är lika långt.
Metod 2 förstår jag inte hur jag ska beräkna riktigt, eftersom jag inte har var steg givet.

V(40X) kan uttryckas i V(X).

Du vet inte vad X har för värde, men du vet fördelningen. Om X = 0.73 m så blir sträckan 29.2 m.

Vad gäller för variansen av en summa av oberoende variabler?

V(X₁ + X₂ + ... + X₄₀) = ...

Kan man säga att metod 2 bör vara approximativt normalfördelad och därmed, enligt cgs, bör variansen gå mot 0?

Summan kan med rimliga approximationer anses vara normalfördelad, men det behöver du inte använda.

För oberoende stokastiska variabler så adderas varianserna.

V(X1 + X2 + ... + X40) = V(X1) + V(X2) + ... V(X40)

Detta kan nu förenklas och så kan du jämföra hur det blev när alla 40 "stegen" var lika långa.

Jag förstår faktiskt fortfarande inte riktigt. Hur förenklar jag det? Och hur ska jag kunna jämföra varianserna när jag inte har någon given, eftersom vi inte har några riktiga steg att jämföra med?

Du vet variansen - eller åtminstone så kan du beräkna den, eftersom du vet standardavvikelsen.

Okej, jag antar att variansen för X är standardavvikelsen^2, dvs 0,03^2 = 0,0009?

Men för metod 1, blir variansen bara 0,0009 eller ska jag multiplicera det med 40?
Och varför kan jag isåfall inte bara ta 0,03*40 direkt, eftersom det är den jag vill ha ut?

Och metod 2 förstår jag inte alls ännu..

Eller blir det såhär?

Var(X)=0,032=0,0009

Metod 1:

Var(aX) = a^2*Var(X) = Var(40X) = 40^2*0,0009 = 1,44
Så standardavvikelsen för metod 1 blir

$\sqrt{1, 44}$ = 1,2

Metod 2:
Var(40X)= 0,0009*40 = 0,036
Så standardavvikelsen för metod 2 blir

$\sqrt{0, 036}$ = 0,1897

Eller är jag fortfarande fel ute?

Precis, i fallet där alla steg är lika långa blir variansen

$V(40X)=40^2V(X)=40^2\sigma^2$

Standardavvikelsen blir då roten ur det, så 40*sigma, där sigma = 0.03 m.

När stegen är olika långa får du

$V(X_1+\ldots+X_{40})=V(X_1)+\ldots+V(X_{40})$

Alla olika steg X_i är tagna från samma fördelning med standardavvikelse sigma, så

$V(X_1+\ldots+X_{40})=V(X_1)+\ldots+V(X_{40})=40\sigma^2$

Standardavvikelsen blir då roten ur det, så sqrt(40)*sigma, där sigma = 0.03 m.

Det skiljer alltså en faktor sqrt(40) mellan de två fallen. Är du med på varför?

Svara

Visa senaste svar