Uppgift om pyramid med tre våningar och undersöka antalet frilagda kloss-sidor.
Hej, jag behöver hjälp med en matte uppgift som jag inte riktig vet hut jag ska fortsätta.
a) Bygg och fota, eller rita, sådana här pyramider med 1, 2 och 3 våningar, och räkna antalet frilagda sidor för varje. Försökt hitta en systematik, ett mönster för hur sidorna ökar med varje våning, och skriv ner detta. Använd sedan detta för att ställa upp ett uttryck för beräkning av totala antalet frilagda sidor hos en pyramid med n våningar, för n >= 1, antingen som en summa eller som en rekursion.
b) Använd ditt uttryck i (a) för att bevisa - med ett induktionsbevis - att antalet frilagda sidor i en pyramid med n våningar är 8(n^2) - 4n +1.
Jag har ritat upp och hittat att
n = 5 så finns det 68 fria sidor,
n = 4, 52 fria sidor
n = 3, 36 fria sidor
n = 2, 20 fria sidor
n = 1, 5 fria sidor.
Det är ökning med 16 på varje våning, förutom våning 1 till 2 eftersom den högst ovan sidan räknas med.
Enklast kanske att tänka på detta i termer av nya fria sidor.
När du lägger till våning n+1 så blir basen av storlek 2n+1×2n+1. Av de nya kuberna 4×(2n-1) kantkuber med 2 nya fria kanter och 4 är hörnkuber med 3 nya fria kanter.
Tillsammans med basfallet bör du sedan kunna bevisa formeln med hjälp av induktion.
Smutsmunnen skrev:Enklast kanske att tänka på detta i termer av nya fria sidor.
När du lägger till våning n+1 så blir basen av storlek 2n+1×2n+1. Av de nya kuberna 4×(2n-1) kantkuber med 2 nya fria kanter och 4 är hörnkuber med 3 nya fria kanter.
Tillsammans med basfallet bör du sedan kunna bevisa formeln med hjälp av induktion.
Summan blir väl så här? Sen hänger jag inte riktig med hur jag ska fortsätta.
Summan ser rätt ut!
Nu ska du bevisa att summan blir samma sak som formeln i uppgiften. Och det gör du med induktion.
Känns det doable?
Summan ser inte ut att stämma.
Om du testar med n=2 så bör du ju få 25.
Men din summa blir: 5 + 16*2+4 = 41
jamolettin skrev:Summan ser inte ut att stämma.
Om du testar med n=2 så bör du ju få 25.
Men din summa blir: 5 + 16*2+4 = 41
Det har du faktiskt rätt på. Jag har gjort en ny beräkning som stämmer. Hur ska jag tänka på uppgift b)?
Smutsmunnen skrev:Summan ser rätt ut!
Nu ska du bevisa att summan blir samma sak som formeln i uppgiften. Och det gör du med induktion.
Känns det doable?
Jag har gjort induktionbevis, ser det rätt ut?
Smutsmunnen skrev:Summan ser rätt ut!
Nu ska du bevisa att summan blir samma sak som formeln i uppgiften. Och det gör du med induktion.
Känns det doable?
Jag har fixat till induktionbevis, kan du hjälpa mig titta genom den om jag har gjort rätt?
