Uppgift om Maclauriutveckling

Innan det går att hjälpa dig, skulle du kunna lösa en sådan här uppgift:

Om $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$ bestäm Maclaurinpolynomet p(x) av ordning två till f(x).

Med andra ord, är det faktumet att funktionen definieras som en integral vilket orsakar huvudbry?

Ja precis, det är just integralen. 

Jag fick integralen till x/cos(x) och försökte ta första och andra derivata som jag satte till 0. Men det blev konstigt. 
Varför ska man ta primitiva för cos ensamt?

Då bör du i så fall känna till att när man bestämmer Maclaurinpolynom så måste man derivera funktionen. Analysens huvudsats kan hjälpa dig att räkna ut detta:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}{\int }_0^x\frac{t}{\cos \left(t\right)}dt$

Om du inte vet hur man gör kan du läsa här: Derivative of an integral

Jag skulle vilja tillägga att Analysens huvudsats heter inte bara så av en slump utan är ju en väldigt viktig del av analysen. Den skippas ofta av många studenter men rekommenderar starkt att kolla igenom den och se till att förstå hur den används, och gärna varför den fungerar.

Den kommer garanterat att återkomma i kommande mattekurser. Lycka till!

Jag vet inte varför jag ignorerade det i mitt tidigare inlägg men jag kan direkt säga att du inte löste integralen utan du bestämde dess derivata med avseende på x. Funktionen $f\left(x\right)$ kan inte uttryckas explicit med elementära funktioner och det är ett icke-trivialt problem inom matematisk fysik att behandla den här typen av funktioner. Den obestämda integralen blir en summa av så kallade dilogaritmer och naturliga logaritmer med komplexa argument:

$\int \frac{x}{\cos \left(x\right)}dx=i\left(L{i}_2(-i{e}^{ix})-L{i}_2\left(i{e}^{ix}\right)\right)+x\left(\ln (1-i{e}^{ix})-\ln (1+i{e}^{ix})\right)$

Dilogaritmen kan definieras med oändliga summor eller integraler.