Uppgift med Gauss (Matematik/Universitet)

Jag tror man menar något liknande detta.

PATENTERAMERA skrev:
Jag tror man menar något liknande detta.

Okej. Antar att nästa steg är att ta fram normaler till ytan D och väggarna till konen. Till ytan bör normalen vara $\textbf{N}=\pm \left( -\dfrac{x}{\sqrt{R^2-(x^2+y^2)}},-\dfrac{y}{\sqrt{R^2-(x^2+y^2)}},-1 \right)$ . Lite osäker hur jag ska ta fram normalen till väggen av konen?

Om vi fokuserar på den normal som du tagit fram först, och tänker på väggen senare.

Först måste vi tänka på om det skall vara plustecknet eller minustecknet som skall gälla. Sedan så måste vi komma i håg att det skall vara en enhetsnormal i Gauss sats, vilket du tydligt markerat med understrykning. Du måste således normera din normal innan du skalärmultiplicerar med F.

Ett snabbare sätt är dock att inse att D är en del av sfären och därför har samma enhetsnormal i varje punkt som sfären har. I rymdpolära koordinater så ges normalen till sfären av vektorn ${\vec{e}}_{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{\vec{r}}{R}$

Notera att vektorfältet i detta fall är enkelt $\vec{F} (\vec{r}) = \vec{r} = R {\vec{e}}_{r}$ (på sfären).

PATENTERAMERA skrev:
Om vi fokuserar på den normal som du tagit fram först, och tänker på väggen senare.

Först måste vi tänka på om det skall vara plustecknet eller minustecknet som skall gälla. Sedan så måste vi komma i håg att det skall vara en enhetsnormal i Gauss sats, vilket du tydligt markerat med understrykning. Du måste således normera din normal innan du skalärmultiplicerar med F.

Ett snabbare sätt är dock att inse att D är en del av sfären och därför har samma enhetsnormal i varje punkt som sfären har. I rymdpolära koordinater så ges normalen till sfären av vektorn ${\vec{e}}_{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{\vec{r}}{R}$

Notera att vektorfältet i detta fall är enkelt $\vec{F} (\vec{r}) = \vec{r} = R {\vec{e}}_{r}$ (på sfären).

Är med på att normalen i någon punkt P inom regionen D är likadan som normalen på sfären till samma punkt P.

Sen kallar du sfärens normerade normal för $\vec{e}_{r}$ , detta är jag också med på.

Men är inte riktigt med på hur $\vec{F}\left(\vec{r}\right)=\vec{r}$ , hur ser man detta?

Titta på hur F är definierat i uppgiften. F = xi + yj + zk = r.

PATENTERAMERA skrev:
Titta på hur F är definierat i uppgiften. F = xi + yj + zk = r.

Ja juste F och r är parallella!

Inte bara parallella utan lika F = r.

PATENTERAMERA skrev:
Inte bara parallella utan lika F = r.

Ja är med nu tack.

Vad gäller flödet ur D så har vi att konens vägg går i precis samma riktning som vektorfältet F oavsett hur vi väljer att placera konen (spetsen är i origo och basen någonstans på ytan av sfären). Om väggen är parallell med vektorfältet så måste normalen till väggen vara ortogonal mot vektorfältet. Detta leder till att skalärprodukten av F och N är 0 och likaså flödet.

Tror du att det räcker att jag svarar på detta viset eller förväntas det något mer?