Uppgift inom diskret mattematik

Hej! 

Jag har nyligen börjat datateknik och har fått min första innlämmningsuppgift inom diskret mattematik och känner mer helt och hållet utanför mitt element och vet inte ens riktigt hur jag ska börja uppgiften

Matte och Ida spelar spel om pengar. Matte har a kronor och Ida har b kronor i starten. I varje omgång vinner Matte en krona av Ida med sannolikheten p eller s˚a förlorar han en krona till Ida med sannolikheten q = 1 − p, däar 0 < p < 1. Spelet är över då en av de två har vunnit alla pengarna. Vi söker sannolikheten att Matte vinner alla pengarna och därmed 

spelet. 

Låt Ak vara sannolikheten att Matte vinner spelet då han har k kronor. Då är A0 = 0 och Aa+b = 1, och vi söker Aa. Man kan också se att Ak uppfyller det rekursiva sambandet 

Ak = p · Ak+1 + q · Ak−1, om 1 ≤ k < a + b, (1) 

eftersom om Matte till slut vinner måste han ha antingen k+ 1 kr (med sannolikheten p) eller k − 1 kr (med sannolikheten q) i omgången efter han hade k kr. 

Sambandet är komplicerat att studera eftersom varje tal i följden beror både på det tal som kommer före och det som kommer efter. Man kan lösa ut Ak+1 och stega neråt, men A1 är obekant och vi kan inte på ett enkelt sätt komma på lösningen (dvs ett explicit uttryck för Ak) till rekursionen på detta vis. Däremot är A1 = p · A2, eftersom A0 = 0, och detta kan användas för att beräkna Ak för olika val av konstanterna a, b och p. Olika val för värdena a, b och p kan speciellt leda till en bra gissning för A1.

Uppgift 1: Visa att om p ̸= q, så uppfyller uttrycket

Ak = ((q/p)^k - 1)/((q/p)^a+b - 1)

rekursionsformeln (1) ovan (använd att q = 1 − p i räkningarna).

Observera att man behöver beräkna A1 för givna konstanter a, b och p, för att kunna visa med induktion att formeln för Ak är sann för alla k ≥ 0. (Notera att du alltså inte skall göra ett induktionsbevis i Uppgift 1 ovan.)

Behöver mest hjälp att komma igång och vart jag börjar någonstans