Uppgift gällande kvot och rest

Polynomdivision är rätt väg att gå, men du kanske har gjort någon tabbe på vägen? Lägg upp en bild på dina lösningar här, så kikar vi på det. :)

Detta får jag, vilket jag förstår är fel. Dock vet jag inte hur jag ska göra för att få rätt svar, jag skulle gissa att jag måste få med -1 i x^-1, nu får jag inte in den då den blir av ”fel” grad.

Hur många gånger går $x^2$ i $x^{81}$? :)

40 ggr?

Njae, vad är $\frac{x^{81}}{x^2}$?

Det problem jag ser med polynomdivison här, är att du kommer att få en väldigt lång uträkning. Samtidigt kan jag inte riktigt komma på någon bättre metod. 

En möjlig metod skulle kunna vara att vi vill skriva $x^{81}-4x^{10}+6$ som någon slag multipel av $x^2-1$ plus ett restpolynom. Ett alternativ för att få med 81-exponenten skulle kunna vara $x^{81}-4x^{10}+6=x^{79}\left(x^2-1\right)+r\left(x\right)$, där r(x) är restpolynomet som gör att likheten är uppfylld, men det kommer att bli ett väldigt krångligt restpolynom, och sedan måste du ändå göra om metoden flera gånger för restpolynomet, eftersom det inte kommer att ha lägre grad än nämnaren. 

Tillägg: 29 nov 2021 17:40

EDIT: Glöm detta. Jag ser var jag tänkte fel, jag återkommer.

Fundera på resten med division med (x-1) resp (x+1), det kanske kan säga något om resten vid division med x^2-1?

Det här är antagligen samma sak som JohanB föreslår: vi vet att resten kan skrivas ax+b, så vi har:

x⁸¹-4x¹⁰+6 = (x²-1)p(x) + ax + b

där p(x) är nåt polynom. Sätt in x = 1 och x = -1 så får man ett ekvationssystem i a och b.