Mafy provet 2021 uppgift C

Ett tips kan vara att titta under rottecknen och leta efter när de olika uttrycken är positiva respektive negativa.

På ett ställe står det $\sqrt{x}$. Då finns det inga reella lösningar där x är <0. På ett annat ställe står det $\sqrt{x^2-1}$. Det betyder att det inte finns reella lösningar om x <1 (förstår du varför?).

Då kan man fråga sig: vad händer om x = 1? Jo man ser snabbt att VL=HL=1, så x=1 är en lösning.

Sedan återstår frågan: Kan det finnas reella lösningar > 1? Man kan visa ganska snabbt att om x>1 så är HL<1 men VL>1 eller inte reellt (är du ned på det?). Då har man visat att x=1 är den enda reella lösningen.

Om det sedan finns komplexa lösningar vet jag inte, ska man reda ut det också?

SvanteR skrev:

Ett tips kan vara att titta under rottecknen och leta efter när de olika uttrycken är positiva respektive negativa.

På ett ställe står det $\sqrt{x}$. Då finns det inga reella lösningar där x är <0. På ett annat ställe står det $\sqrt{x^2-1}$. Det betyder att det inte finns reella lösningar om x <1 (förstår du varför?).

Då kan man fråga sig: vad händer om x = 1? Jo man ser snabbt att VL=HL=1, så x=1 är en lösning.

Sedan återstår frågan: Kan det finnas reella lösningar > 1? Man kan visa ganska snabbt att om x>1 så är HL<1 men VL>1 eller inte reellt (är du ned på det?). Då har man visat att x=1 är den enda reella lösningen.

Om det sedan finns komplexa lösningar vet jag inte, ska man reda ut det också?

Hm okej jag är med på båda leden är lika med varandra då x=1 är en lösning till rotekvationen men då x>1 är jag ej med... Villkoret för båda ekvationen är att x>0 och x >1. För x<1 då finns inga lösningar för bägge leden. Hur visar jag ens om det finns reella lösningar utöver x=1 för båda leden? Det framgår ej i uppgiften att komplexa lösningar ska vara med. Jag tror dock ej det, men man vet aldrig med såna frågor. 

Hur visar jag ens om det finns reella lösningar utöver x=1 för båda leden?

SvanteR skrev:

Sedan återstår frågan: Kan det finnas reella lösningar > 1? Man kan visa ganska snabbt att om x>1 så är HL<1 men VL>1 eller inte reellt (är du ned på det?). Då har man visat att x=1 är den enda reella lösningen.

joculator skrev:

Hur visar jag ens om det finns reella lösningar utöver x=1 för båda leden?

 

SvanteR skrev:

Sedan återstår frågan: Kan det finnas reella lösningar > 1? Man kan visa ganska snabbt att om x>1 så är HL<1 men VL>1 eller inte reellt (är du ned på det?). Då har man visat att x=1 är den enda reella lösningen.

Jag fattar x=1 är en reell lösning. Men hur vet man att x större än 1 tex ger mindre värde på högra ledet och högre värde på vänstra ledet utan att ha provat sig med några siffror? Vad hände om man tänkte bara på att x=1 är en lösning och inget annat? 

Är du med på följande steg:

1:   $x>1 \Rightarrow \sqrt{x}>1$

2:   $\sqrt{x}>1\Rightarrow 2-\sqrt{x}<1$

Om inte, vilket steg är du inte med på?

Sedan, är du med på följande:

3:   $x>1\Rightarrow x^2>1$

4:   $x^2>1\Rightarrow x^2-1>0$

5:  $x^2-1>0\Rightarrow \sqrt{x^2-1}>0$

6:   $x>1$ OCH $\sqrt{x^2-1}>0\Rightarrow x+\sqrt{x^2-1}>1$

7:  $x+\sqrt{x^2-1}>1\Rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}>1$

Om inte, vilket steg är du inte med på?

1-2 tar hand om HL, 3-7 om VL

SvanteR skrev:

Är du med på följande steg:

1:   $x>1 \Rightarrow \sqrt{x}>1$

2:   $\sqrt{x}>1\Rightarrow 2-\sqrt{x}<1$

Om inte, vilket steg är du inte med på?

Sedan, är du med på följande:

3:   $x>1\Rightarrow x^2>1$

4:   $x^2>1\Rightarrow x^2-1>0$

5:  $x^2-1>0\Rightarrow \sqrt{x^2-1}>0$

6:   $x>1$ OCH $\sqrt{x^2-1}>0\Rightarrow x+\sqrt{x^2-1}>1$

7:  $x+\sqrt{x^2-1}>1\Rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}>1$

Om inte, vilket steg är du inte med på?

1-2 tar hand om HL, 3-7 om VL

Oj nu känns det väldigt rörigt tycker jag. Jag är ej med på någon av dessa steg längre..  Det blev många steg att ta in på en och samma gång. Jag är ej så snabb i huvudet. Hittills förstår jag bara att x=1 är en reell lösning då båda leden är lika med varandra. Men att komma på fler lösningar än 1 är inget jag har kunnat räkna ut. Jag har ej heller resonerat med den där bevisen som du kör att allt är större än eller lika med 1.