Uppgift angående kombinatorik/sannolikhet

Om man får förutsätta att divisionsalgoritmen lång division eller liggande stolen eller vad den heter fungerar, så kan man tänka på hur det går till när man utför den.

Sannolikhet kommer inte in här, det beror inte på slumpen vad resultatet blir.

Ett sätt att tänka är så här:

Säg att vi har ett rationellt tal p/q, där bråket är förlängt så långt som möjligt.

Bland  de q-1 talen $10p, 100p, ..., {10}^{q}p$

kommer två att vara kongruenta  med p modulo q (duvslagsprincipen).

Så för något heltal k har vi

$q|{10}^{k}p-p$

det vill säga

${10}^k\frac{p}{q}-\frac{p}{q}$

är ett heltal. Men de två talen i den differensen har samma decimalutveckling, bara förskjuten k steg.