Uppgift 572. En helikopter hovrar på 10 meters höjd, beräkna luftens hastighet.
Hej!
Jag har fastnat på följande uppgift:
"En helikopter hovrar (är helt stilla) på 10 meters höjd. Helikoptern väger 6230kg och rotorn har diametern 14.6m. Vilken hastighet får luften som rotorn trycker neråt?"
Jag förstår lösningen i facit och har även funnit lösningar på internet, MEN de alla använder sig av impulslagen. När jag löste den var min första tanke att använda mig utav energi och arbete.
Jag antog att både rörelseenergin och lägesenergin vid rotorn var 0 J (jag räknade med att luftens hastighet var 0m/s och satte att höjden var 0m). Eftersom helikoptern är stilla vet jag att kraften från luften på helikoptern = helikopterns tyngdkraft, och är även den kraft som rotorn trycker ner luften med. H meter under rotorn har luften fått NEGATIV potentiell energi, samt positiv rörelseenergi. Det har utförts ett arbete W=F*s på luften från rotorn, där F = -m helikopter*g (negativ riktning nedåt) och s =(-h)m. Arbetet måste alltså vara lika stort som summorna av energin h meter under rotorn:
Jag kan med informationen räkna ut massan för luften, och med förenkling av ovanstående uttryck löser jag ut v och får svaret som står i min lösning nedan. Jag insåg till sist att jag i det slutliga uttrycket har kvar ett h, för vilket jag saknar värde, och kan alltså inte räkna ut v.
Men bortsett från det, är min metod korrekt? Har jag tänkt rätt med energi och arbete? Eller hade det inte gått att lösa även om jag vetat h, för att denna metod inte kan appliceras i detta fall?
Tack!
Välkommen till Pluggakuten!
Tyvärr är metoden inte korrekt.
I de flesta gymnasieuppgifter gäller det att F = d(mv)/dt = m•a, men
i det här fallet är det istället luftmassan som rör sig medan helikoptern står stilla, dvs
F = d(mv)/dt = (dm/dt)•v = ρ•A•(Δh/Δt)•v = ρ•A•v2
Denna kraft från luften balanseras sedan av F = M•g från helikoptern.
Liknande fall är exempelvis när det handlar om vatten som sprutar ut ur en slang.
Vänta, så ligger felet i att skriva att W = F*h där F=helikopterns tyngd? Varför isåfall? Måste inte kraften från rotorn på luften vara lika med helikopterns tyngd för att hålla helikoptern stilla? Och det är väl denna kraft från rotorn som trycker ner luften?
Menar du med (dm/dt) att luftens massa alltså ändras med tiden?
Får rätt eller fel svar om du beräknar enligt förslaget?
Jag får rätt svar när jag räknade som du skrev. Men jag förstår inte riktigt allting.
Vad är det i min första uträkning som gör att metoden inte fungerar? Kan man överhuvudtaget inte betrakta uppgiften ur ett energi-perspektiv för att lösa den? Varför isåfall?
I de flesta gymnasieuppgifter gäller det att F = d(mv)/dt = m•a, men
i det här fallet är det istället luftmassan som rör sig medan helikoptern står stilla
Vad exakt betyder detta?
Generellt gäller att kraften F är derivatan av m•v.
Då har vi att F = m•(dv/dt) + (dm/dt)•v
Lufthastigheten är konstant så att dv/dt = 0 och den första termen försvinner.
dm/dt har ett konstant värde (men är inte noll) och är också proportionell mot v, så att kraften blir proportionell mot v2.
Jag är nog inte rätt man att svara på frågan om varför man inte kan beräkna enligt energiprincipen. Men det är nog så att det inte spelar någon roll om helikoptern hovrar på 10 meters höjd eller 20 meters höjd, det blir samma propellereffekt och samma lufthastighet i båda fallen, men givetvis har det gått åt ytterligare lite bensin för att stiga från 10 till 20 meter.
