Uppgift 4

Du har tänkt bra för att utesluta a och b. Men för att vara säker på att c stämmer behöver du tänka mer allmänt. Du kan försöka förlänga 1/a med b och 1/b med a - kan du jämföra bråktalen då? Eller om du vet hur f(x) = 1/x ser ut, så kan du rita och se vad som gäller. 

Hm varför ska jag förlänga ena bråket med b och ena med a? Angående 1/x så ser jag att x ej får vara noll, men för värden större än noll så går den mot oändligheten och värden mindre än noll är det samma sak. 

Mahiya99 skrev:

Hm varför ska jag förlänga ena bråket med b och ena med a?

Då får du samma nämnare. 

Angående 1/x så ser jag att x ej får vara noll, men för värden större än noll så går den mot oändligheten och värden mindre än noll är det samma sak. 

Det stämmer men det räcker inte. Kan du rita det? Jag vet inte om du har studerat sådana grafer än, eller om du har tillgång till grafritande miniräknare :) posta bild om du kan. 

Att använda ett motsatsbevis är helt ok.
Testa alla med a=1 och b=-1       (uppfyller a>b)

a.   
-a > -b
-1 > -(-1)
-1 > 1      nej

b.
a² > b
1² > (-1)²
1 > 1   nej

c.   1/a < 1/b
1/1 < 1/(-1)
1 < -1     nej

joculator har rätt. För att hitta sitt exempel kan du märka att a och b inte kan vara 0, så du kan ana att någonting händer runt 0. Därför är det bra att ta ett exempel där a och b har motsatta tecken.

De andra sätten att tänka på det går ungefär så här:

1. Grafiskt: 1/x ser så här ut

Du kan se att om x är positiv, när x växer, 1/x minskar; om x är negativ, när x växer, 1/x minskar; men för all negativa x är 1/x mindre än 1/x för alla positiva x. Håller du med?

2. Algebraiskt:

Att jämföra 1/a med 1/b är detsamma som att jämföra b/ab med a/ab. Du vet att b < a. Om du dividerar med en positiv ab, så blir b/ab < a/ab. Men om du dividerar med en negativ ab, så blir det tvärtom (se här). Du kan få en negativ ab om a och b har motsatta tecken.

Fråga vidare om det fortfarande inte är tydlig.

Ok tack för hjälpen. Jag förstår! 

Ett tips på hur du kan formulera dig algebraiskt.

Påståendet $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ är samma sak som $\frac{b}{ab}<\frac{a}{ab}$, vilket är samma sak som $\frac{b-a}{ab}<0$.

Uttrycket i vänsterledet är negativt då täljaren och nämnaren har olika tecken.

Eftersom $a>b$ så innebär det att täljaren $b-a<0$, dvs täljaren är alltid negativ.

För att påståendet ska gälla måste alltså nämnaren $ab$ alltid vara positiv.

Vi kan enkelt hitta ett exenpel där så inte är fallet, t.ex. $a=1$ och $b=-1$, vilket betyder att påståendet inte alltid är sant.

Tack!