Uppgift 4438 matte 5

Jag är en smula ringrostig.

Homogena:

Vi antar att q(t) kan skrivas på formen a*e^s*t

Detta ger att d²q/dt² blir s*s*a*e^st = s²*q(t)

Vi får då att de bitar som skall ta ut varandra är på formen

L*s²*q+(1/C)*q = 0

L*s²+(1/C)=0

s²=-(1/(LC))

$s=\pm i*\sqrt{\frac{1}{LC}}$

$q_{hom}\left(t\right)=A*e^{i*\sqrt{1/\left(LC\right)}t}+B*e^{-i*\sqrt{1/\left(LC\right)}t}$

Då t=0 är dq/dt = 0 så derivatan måste bli 0.

$$\begin{gathered} q_{hom}\text{'}\left(t\right)=i*\sqrt{1/\left(LC\right)}*A*e^{i*\sqrt{1/\left(LC\right)}t}-i*\sqrt{1/\left(LC\right)}*B*e^{-i*\sqrt{1/\left(LC\right)}t}=0 \\ i*\sqrt{1/\left(LC\right)}*A*e^0-i*\sqrt{1/\left(LC\right)}*B*e^0=0 \\ i*\sqrt{1/\left(LC\right)}*(A-B)=0 \\ A=B \end{gathered}$$

Detta kan sedan skrivas om som en cosinusfunktion.