Uppgift 4337 angående likformighet och topptrianglar.

Det här är i min bedömning en ganska svår uppgift.

Det går nog att lösa på flera sätt men det enklaste som jag ser är nog att betrakta areor.

Alltså |AF|/|FE| = Area(triangel AFD)/Area(triangel FDE) = Area(triangel AFB)/Area(triangel FBE) 

Smutsmunnen skrev:

Det här är i min bedömning en ganska svår uppgift.

Det går nog att lösa på flera sätt men det enklaste som jag ser är nog att betrakta areor.

Alltså |AF|/|FE| = Area(triangel AFD)/Area(triangel FDE) = Area(triangel AFB)/Area(triangel FBE) 

Okej, men hur gör man om man ska använda att triangel DEF och AFB är likformiga och att DCE är en topptriangel? (de är dessa metoder facit hänvisar till att man ska använda)

Tack på förhand

Eftersom D och E är mittpunkter innebär det att DE och AB är parallella. Du vet också att CE = BE och CD = AD. Då kan du beräkna förhållandet mellan DE och AB.

Eftersom DE är parallell med AB och trianglarna DEF och ABF har samma vinkel i F kan du konstatera att dessa två trianglar är likformiga. Därför förhåller sig EF mot AF som DE förhåller sig till AB.

AndersW skrev:

Eftersom D och E är mittpunkter innebär det att DE och AB är parallella. Du vet också att CE = BE och CD = AD. Då kan du beräkna förhållandet mellan DE och AB.

Eftersom DE är parallell med AB och trianglarna DEF och ABF har samma vinkel i F kan du konstatera att dessa två trianglar är likformiga. Därför förhåller sig EF mot AF som DE förhåller sig till AB.

Okej, men hur vet man att trianglarna är likformiga om man bara vet att en vinkel överensstämmer? Förhållandet mellan dessa blir DE/AB=EF/FA men hur ska man få det till 1/2 (som det står i facit)?

Tack på förhand

Okej, men hur vet man att trianglarna är likformiga om man bara vet att en vinkel överensstämmer?

Du vet inte bara att en vinkel överensstämmer, du vet även att de motstående sidorna i de båda trianglarna är parallella.

Om du vet att DE är en parallelltransversal bör du veta att trianglarna är likformiga.

Smaragdalena skrev:

Okej, men hur vet man att trianglarna är likformiga om man bara vet att en vinkel överensstämmer?

Du vet inte bara att en vinkel överensstämmer, du vet även att de motstående sidorna i de båda trianglarna är parallella.

Om du vet att DE är en parallelltransversal bör du veta att trianglarna är likformiga.

Okej, så två trianglar är likformiga om antingen två vinklar i en triangel lika med motsvarande vinkel i en annan triangel eller om en vinkel är gemensam och en sida parallell? Jag förstår dock fortfarande inte hur man löser ut sambandet till 1/2. 

Tack på förhand

Eftersom trianglarna ABC och DEC är likformiga, och eftersom AC är dubbelt så lång som DC (och BC ärdubbelt så lång som EC) så är AB dubbelt så lång som DE.

Trianglen DEF är likformig med triangeln ABF. (Varför får du fundera ut själv).  Eftersom AB är dubbelt så lång som DE så...

Det räcker inte med att en av sidorna är parallella. Det måste vara en speciell sida i förhållande till den vinkel vi känner.

Om du ser på triangeln DEF och ABF så ser du att vinkeln vid F måste vara lika stor i båda dessa. Det är du med på? Nu kan du enkelt visa, genom att du vet att DE och AB är parallella att vinkeln AED och vinkeln EAB är lika stora. Då vet du att DEF och ABF är likformiga då du vet att två vinklar i dessa är lika stora.

Då kan du sätta upp förhållandet $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{AF}$. Förhållandet mellan DE och AB räknar du ut med topptriangelsatsen.